初二数学期末急救：三角形的三边关系易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：三角形的三边关系 的核心避坑原理

• 概念重塑：想象一下，你手里有三根木棒，长度分别是 \( a \), \( b \), \( c \)。你想把它们首尾相连拼成一个三角形。关键来了：任意两根木棒的长度之和，必须严格大于第三根木棒的长度。为什么？就像阿星说的，\( 3 \), \( 5 \), \( 8 \) 这三根，\( 3+5=8 \)，拼起来两头刚好对上，成了一条僵直的线段，根本“撑”不开一个三角形！所以，必须是像 \( 3, 5, 7 \) 这样，两边之和（\( 3+5=8 \)）大于第三边（\( 7 \)），才能构成一个真正的、有面积的三角形。记住，是“大于”，不是“等于或大于”！
• 避坑口诀：“三边关系要记牢，两边之和大于第三角；等于变成一条线，小于根本够不着！”

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：认为“两边之和大于第三边”只要随便找两边验证一次就行。比如已知等腰三角形两边长为 \( 2 \) 和 \( 5 \)，就直接用 \( 2+5>5 \) 判断，得出腰为 \( 2 \)。
  ✅ 正解：必须验证任意两边之和大于第三边，要验证所有三种组合：\( a+b>c \), \( a+c>b \), \( b+c>a \)。对于等腰三角形，腰长不确定时要分情况讨论。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：在复杂图形或坐标中，看到三条线段“看起来”能连成三角形，就直接下结论，而不去实际计算三边长度并验证关系。
  ✅ 正解：“眼见”不一定为实！必须通过计算（如勾股定理求边长）得到三边的具体长度，再严格代入三边关系进行验证。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：已知三角形两边长，求第三边取值范围时，只记得 \( |a-b| < c < a+b \) 这个公式，但在计算时要么漏掉绝对值，要么忘记“第三边必须大于两边之差”这个条件，导致取值范围少一边。
  ✅ 正解：牢记“两边之差 < 第三边 < 两边之和”。计算时，先写出不等式组：
  • \( c < a + b \)
  • \( c > |a - b| \) （或拆成 \( c > a-b \) 且 \( c > b-a \)，取大的那个）

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第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 有两条线段长度分别为 \( 3 \text{ cm} \) 和 \( 7 \text{ cm} \)，则能与它们组成三角形的第三条线段长度必须满足 \( 4 \text{ cm} < c < 10 \text{ cm} \)。（ ）
2. 若三条线段满足 \( a+b>c \)，则一定能组成一个三角形。（ ）
3. 等腰三角形的一边长为 \( 4 \)，周长为 \( 12 \)，那么它的底边长只能是 \( 4 \)。（ ）
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，若 \( AB=5 \)，\( BC=2 \)，则边 \( AC \) 的长度一定大于 \( 3 \)。（ ）
5. 三角形的最长边一定小于周长的一半。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 已知三角形三边长均为整数，其中两边长分别为 \( 5 \) 和 \( 8 \)，则第三边长可能的最大值是 ______，最小值是 ______。
2. 一个三角形的两边长分别为 \( 3 \) 和 \( 7 \)，且它的周长为偶数，则第三边的长为 ______。
3. 若等腰三角形的底边长为 \( 6 \text{ cm} \)，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为 \( 2 \text{ cm} \)，则该等腰三角形的腰长为 ______ \(\text{cm}\)。
4. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=9 \)，\( AC=5 \)，那么 \( BC \) 边上的中线 \( AD \) 的取值范围是 ______。
5. 用长度为 \( 2 \text{ cm} \)、\( 3 \text{ cm} \)、\( 4 \text{ cm} \)、\( 5 \text{ cm} \)、\( 6 \text{ cm} \) 的五根木棒中的三根首尾顺次相接，能搭成 ______ 个不同的三角形。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错误。 解析：应为 \( 7-3 < c < 7+3 \)，即 \( 4 < c < 10 \)。注意，不能等于 \( 4 \) 或 \( 10 \)，所以“必须满足 \( 4 \text{ cm} < c < 10 \text{ cm} \)”是正确的。等等，题目是判断对错，它说“必须满足 \( 4 \text{ cm} < c < 10 \text{ cm} \)”，这正是我们推出的正确范围，所以这句话✅ 是正确的。本题陷阱在于让学生误以为范围包含端点。
2. ❌ 错误。 解析：必须同时满足 \( a+b>c \)，\( a+c>b \)，\( b+c>a \) 三个不等式。只满足一个是不能构成三角形的。
3. ❌ 错误。 解析：设腰为 \( x \)，底为 \( y \)。则 \( 2x+y=12 \)。若腰 \( x=4 \)，则底 \( y=4 \)，三边为 \( 4,4,4 \)（等边三角形），可以。若底 \( y=4 \)，则腰 \( x=4 \)，同上。所以底边长可以是 \( 4 \)，但“只能是 \( 4 \)”不对，因为当腰 \( x=4 \)时，底 \( y=4 \)；当底 \( y=4 \)时，腰 \( x=4 \)；结果一样，但逻辑上并非“只能”。更典型的反例：若腰 \( x=5 \)，则底 \( y=2 \)，三边 \( 5,5,2 \) 也满足周长为 \( 12 \) 且能构成三角形。所以底边长可以是 \( 2 \) 或 \( 4 \)，不唯一。
4. ✅ 正确。 解析：根据三边关系，\( AC > |AB-BC| = |5-2| = 3 \)。所以 \( AC \) 一定大于 \( 3 \)。
5. ✅ 正确。 解析：设三边为 \( a \le b \le c \)，则 \( c \) 是最长边。因为 \( a+b > c \)，且 \( a>0, b>0 \)，所以周长 \( P = a+b+c > c+c = 2c \)，因此 \( c < \frac{P}{2} \)。这是一个有用的推论。

第二关：防坑演练

1. 最大值：12，最小值：4。 解析：设第三边为 \( c \)。则 \( 8-5 < c < 8+5 \)，即 \( 3 < c < 13 \)。因为 \( c \) 是整数，所以 \( c \) 可以取 \( 4,5,6,7,8,9,10,11,12 \)。最大为 \( 12 \)，最小为 \( 4 \)。
2. 6 或 8。 解析：设第三边为 \( c \)。则 \( 7-3 < c < 7+3 \)，即 \( 4 < c < 10 \)。周长为 \( 3+7+c = 10+c \) 为偶数，所以 \( c \) 必须为偶数。在 \( 4 < c < 10 \) 的偶数有 \( 6 \) 和 \( 8 \)。
3. 8 或 4。 解析：设腰长为 \( x \) cm。画图可知，被中线分成的两部分分别是：\( (x + \frac{x}{2}) \) 和 \( (6 + \frac{x}{2}) \)。两者之差为 \( 2 \)。陷阱： 差为 \( 2 \)，未指明谁减谁，所以有两种情况：
   • ① \( (x + \frac{x}{2}) - (6 + \frac{x}{2}) = 2 \) → \( x - 6 = 2 \) → \( x = 8 \)。检验：三边为 \( 8, 8, 6 \)，符合。
   • ② \( (6 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 2 \) → \( 6 - x = 2 \) → \( x = 4 \)。检验：三边为 \( 4, 4, 6 \)，符合。
4. \( 2 < AD < 7 \)。 解析：参考精讲第3题“倍长中线”模型。延长 \( AD \) 至 \( E \)，使 \( DE=AD \)，连接 \( CE \)。则 \( CE=AB=9 \)。在 \( \triangle ACE \) 中，\( AC=5 \)，\( CE=9 \)，\( AE=2AD \)。有 \( |9-5| < 2AD < 9+5 \)，即 \( 4 < 2AD < 14 \)，所以 \( 2 < AD < 7 \)。
5. 7 个。 解析：五根木棒任取三根的组合有 \( C_5^3 = 10 \) 种。逐一用三边关系检验（最短两边之和大于第三边）：
   • (2,3,4): 2+3>4 ✅
   • (2,3,5): 2+3=5 ❌
   • (2,3,6): 2+3<6 ❌
   • (2,4,5): 2+4>5 ✅
   • (2,4,6): 2+4=6 ❌
   • (2,5,6): 2+5>6 ✅
   • (3,4,5): 3+4>5 ✅
   • (3,4,6): 3+4>6 ✅
   • (3,5,6): 3+5>6 ✅
   • (4,5,6): 4+5>6 ✅

   共7种组合可以。