谣言止于“模”者？阿星带你用SIS病毒模型，秒解信息传播难题！：典型例题精讲
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2025-12-20
💡 阿星精讲：传播模型的本质
想象一下，谣言就是病毒。一个“八卦”或一条未经证实的信息，就像病毒一样，在人群中寻找“宿主”。我们用传染病学中的 SIS模型 来模拟这个过程。在这个模型里，总人数 \( N \) 被分为两类：
* 易感者 (Susceptible, \( S(t) \))：还没听过谣言，容易被“感染”的人。
* 传播者 (Infected, \( I(t) \))：已经知道并正在传播谣言的人。
核心机制：
1. 扩散：当一个传播者遇到一个易感者，有一定的概率（传播系数 \( \beta \)）将谣言传递出去，使易感者转变为传播者。
2. 免疫/恢复：传播者可能因为遗忘、辟谣或失去兴趣，以一定的速率（恢复系数 \( \gamma \)）变回易感者（SIS模型），而不是获得永久免疫。
整个过程可以用微分方程描述其变化率：新传播者增加的速度取决于 \( \beta \cdot S(t) \cdot I(t) \)，而传播者减少的速度是 \( \gamma \cdot I(t) \)。我们的目标，就是掌握这个动态平衡的计算。
🔥 经典例题精析
题目：在一个 \( N = 1000 \) 人的封闭微信群中，一条谣言开始传播。假设符合SIS模型，初始有 \( I(0) = 5 \) 个传播者。已知谣言传播系数 \( \beta = 0.002 \)（每人每天），人们平均 \( 2 \) 天后会忘记或停止传播该谣言（即恢复系数 \( \gamma = 0.5 \) /天）。请问第 \( 3 \) 天结束时，群内大约有多少传播者 \( I(3) \)？（为简化计算，可使用离散近似，结果四舍五入取整）
阿星拆解：
第一步：理解模型与离散化。 SIS模型的核心方程是：
\[ \frac{dI}{dt} = \beta S I - \gamma I \]
其中 \( S = N - I \)。我们按天（\( \Delta t = 1 \) 天）进行离散近似计算，公式为：
\[ I_{\text{新}} = I_{\text{旧}} + (\beta \cdot S_{\text{旧}} \cdot I_{\text{旧}} - \gamma \cdot I_{\text{旧}}) \cdot \Delta t \]
第二步：初始化参数。
\[ N=1000, \quad I_0 = 5, \quad S_0 = 1000 - 5 = 995, \quad \beta=0.002, \quad \gamma=0.5 \]
第三步：迭代计算。
- 第1天： 新增 \( = 0.002 \times 995 \times 5 = 9.95 \)，恢复 \( = 0.5 \times 5 = 2.5 \)
\( I_1 = 5 + (9.95 - 2.5) \times 1 = 5 + 7.45 = 12.45 \approx 12 \)人
\( S_1 = 1000 - 12 = 988 \)人 - 第2天： 新增 \( = 0.002 \times 988 \times 12 = 23.71 \)，恢复 \( = 0.5 \times 12 = 6 \)
\( I_2 = 12 + (23.71 - 6) \times 1 = 12 + 17.71 = 29.71 \approx 30 \)人
\( S_2 = 1000 - 30 = 970 \)人 - 第3天： 新增 \( = 0.002 \times 970 \times 30 = 58.2 \)，恢复 \( = 0.5 \times 30 = 15 \)
\( I_3 = 30 + (58.2 - 15) \times 1 = 30 + 43.2 = 73.2 \approx 73 \)人
结论： 第3天结束时，大约有 \( 73 \) 名传播者。
口诀：
谣言如病毒，接触即传染（\( \beta S I \)）；
免疫会恢复，转身又易感（\( -\gamma I \)）；
增减速相抵，动态求平衡。
🚀 举一反三：变式挑战
某校园话题在 \( 2000 \) 名学生中以SIS模型传播。已知传播系数 \( \beta = 0.0015 \)，恢复系数 \( \gamma = 0.6 \)。若初始有 \( 10 \) 人发起讨论，请问 \( 2 \) 天后，参与讨论（传播者）的人数大约是多少？（离散计算）
经观测，某谣言在某个社区最终达到了一个稳定状态，约有 \( 20\% \) 的居民（总人数 \( N=5000 \)）在任何时候都在谈论它。若已知居民平均 \( 2.5 \) 天会遗忘该谣言（\( \gamma = 0.4 \)），你能反推出这个谣言的传播系数 \( \beta \) 大约是多少吗？（提示：稳定时，\( dI/dt = 0 \)）
某社交平台对一条不实信息进行“贴标签辟谣”。假设贴标签后，传播者看到标签会以 \( \gamma_1 = 0.8 \) 的速率转变为“免疫者（不再传播且不再相信）”，而未看到标签的传播者仍以 \( \gamma_2 = 0.3 \) 的速率变回易感者。若标签覆盖了 \( 50\% \) 的传播者，初始条件和传播系数 \( \beta = 0.002 \)， \( N=1000 \)， \( I(0)=1 \)。请估算这种混合机制下，第 \( 2 \) 天传播者的数量。（此题为开放性思考，评估影响趋势）
答案与解析
经典例题：如前计算，约为 \( 73 \) 人。
变式一：
* 解析：套用离散迭代公式。
* 初始：\( I_0 = 10, S_0 = 1990 \)。
* 第1天：新增 \( = 0.0015 \times 1990 \times 10 = 29.85 \)，恢复 \( = 0.6 \times 10 = 6 \)。\( I_1 = 10 + (29.85 - 6) = 33.85 \approx 34 \)。\( S_1 = 1966 \)。
* 第2天：新增 \( = 0.0015 \times 1966 \times 34 \approx 100.27 \)，恢复 \( = 0.6 \times 34 = 20.4 \)。\( I_2 = 34 + (100.27 - 20.4) = 113.87 \approx 114 \)。
* 答案：约 \( 114 \) 人。
变式二：
* 解析：稳定状态时，新增速率等于恢复速率，即 \( \beta S I = \gamma I \)。两边约去 \( I \)（\( I eq 0 \)），得 \( \beta S = \gamma \)。已知 \( I = 5000 \times 0.2 = 1000 \)，则 \( S = 5000 - 1000 = 4000 \)。代入 \( \gamma = 0.4 \)，有 \( \beta \times 4000 = 0.4 \)。
* 答案：解得 \( \beta = 0.0001 \)。
变式三：
* 解析：这是一个修正模型。每天，传播者群体中：
* 有 \( 50\% \) 的人以速率 \( 0.8 \) 被移除（不再参与模型循环）。
* 有 \( 50\% \) 的人以速率 \( 0.3 \) 变回易感者。
* 因此，整体的“有效恢复速率”可近似为 \( \gamma_{\text{有效}} = 0.5 \times 0.8 + 0.5 \times 0.3 = 0.4 + 0.15 = 0.55 \)。
* 使用此 \( \gamma_{\text{有效}} = 0.55 \) 和原 \( \beta = 0.002 \) 进行近似离散计算：
* 第1天：新增 \( = 0.002 \times 999 \times 1 = 1.998 \)，恢复 \( = 0.55 \times 1 = 0.55 \)。\( I_1 = 1 + (1.998 - 0.55) = 2.448 \approx 2 \)。\( S_1 = 998 \)。
* 第2天：新增 \( = 0.002 \times 998 \times 2 = 3.992 \)，恢复 \( = 0.55 \times 2 = 1.1 \)。\( I_2 = 2 + (3.992 - 1.1) = 4.892 \approx 5 \)。
* 趋势分析：与经典例题参数（\( \gamma = 0.5 \)）相比，辟谣干预提高了有效恢复速率，使传播者增长变慢。例如，若无干预，第2天传播者约 \( 30 \) 人（见经典例题第二步计算），而干预后仅约 \( 5 \) 人，说明辟谣效果显著。
* 答案：约 \( 5 \) 人。本题主要考察对模型参数意义的理解和近似处理能力。
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