一看就懂！小学数学容斥原理（两量）图解全攻略：从公式到陷阱破解：典型例题精讲
适用年级
五年级
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最近更新
2025-12-20
容斥原理（2量）深度解题指南：阿星的举手魔法
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你是班长阿星。班会课上，你想知道班里有多少同学至少喜欢篮球或足球其中一项。
你让大家举手：
1. “喜欢篮球的同学请举手！”——你数了数，有 A 只手。
2. “喜欢足球的同学请举手！”——你数了数，有 B 只手。
这时，你如果直接把 A 和 B 加起来，会发现总手指数比你班总人数还多！为什么？
因为那些既喜欢篮球又喜欢足球的同学，在两次点名中都举手了！他们的手被计算了两次。要想知道至少喜欢一项减掉一次这些“过于积极”的重复计数。
关键点拨：公式 A∪B = A + B - A∩B 的灵魂，就在于处理这个被重复计算的“隐形重叠部分”。加，是因为我们想囊括所有可能性；减，是为了修正“双重身份”带来的虚高计数。
👀 看图说话：
``mermaid
flowchart TD
subgraph U [全班同学]
direction LR
subgraph A [喜欢篮球 A人]
direction LR
A1[只喜欢篮球]
AB[既喜欢篮球又喜欢足球 A∩B人]
end
subgraph B [喜欢足球 B人]
direction LR
B1[只喜欢足球]
AB
end
end
style A fill:#93c5fd,stroke:#1e40af
style B fill:#fca5a5,stroke:#dc2626
style AB fill:#c4b5fd,stroke:#7c3aed
style U fill:none,stroke:#000,stroke-width:2px,stroke-dasharray: 5 5
图注：紫色重叠区域 AB 同时属于蓝色圈 A 和红色圈 B。当我们把 A 的人数（蓝色整个圈）和 B 的人数（红色整个圈）相加时，紫色区域就被加了两次。要得到总覆盖面积（至少喜欢一项的人数），就必须减掉一次重叠的紫色区域。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】三（1）班调查兴趣爱好。喜欢画画的有5人，喜欢唱歌的有3人。其中，既喜欢画画又喜欢唱歌的有1人。问至少喜欢画画或唱歌其中一项的有多少人？
阿星的显微镜（画图验证）：
我们把同学编号，用文字模拟：
设只喜欢画画的同学是：画1，画2，画3，画4（共4人）
既喜欢画画又喜欢唱歌的同学是：星（共1人）
只喜欢唱歌的同学是：歌1，歌2（共2人）
现在，请“至少喜欢一项”的同学出列：画1, 画2, 画3, 画4, 星, 歌1, 歌2。
我们数一数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。总共是7人。
标准算式：
喜欢画画 A = 5
喜欢唱歌 B = 3
既喜欢画画又喜欢唱歌 A∩B = 1
至少喜欢一项 A∪B = A + B - A∩B = 5 + 3 - 1 = 7（人）
【易错陷阱】一个小组有12人，订阅《科学画报》的有9人，订阅《儿童文学》的有7人。每人至少订阅一种杂志。问两种杂志都订阅的有多少人？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接用 9 + 7 = 16，发现比总人数12还多，然后就懵了，或者错误地写成 16 - 12 = 4，但说不清为什么。
图解陷阱：这道题是“母题”的逆向思维！已知的是总数（A∪B）和两个部分量（A和B），求的是重叠部分（A∩B）。如果画图，你会发现“A圈+B圈”的面积总和，比“全班”这个大方框的面积多出来的那一块，正好就是重叠部分算了两次造成的！
正确思路：代入核心公式 A∪B = A + B - A∩B。已知 A∪B = 12, A = 9, B = 7。
那么 A∩B = A + B - A∪B = 9 + 7 - 12 = 4（人）。
验证：9人（科学）+7人（文学）=16人次，比总人数12多了4人次，这多出来的4人次正是因为那4个“两种都订”的同学每人被多算了一次。
【高手进阶】一次对40名学生的问卷调查显示：喜欢《汪汪队立大功》的有28人，喜欢《小猪佩奇》的有25人。有10人两部动画片都不喜欢。问两部动画片都喜欢的有多少人？
思维迁移：这题多了一个条件——“有10人都不喜欢”。我们依然用阿星的“举手魔法”来想：全班40人，去掉那10个“从不举手”的，剩下40 - 10 = 30人就是至少喜欢一部动画片的人，也就是公式里的 A∪B。接下来，就转化成了上一题的逆问题：已知 A=28, B=25, A∪B=30，求 A∩B。
算式： A∩B = A + B - A∪B = 28 + 25 - 30 = 23（人）。
（思考：为什么答案看起来这么大？画图看看，喜欢《汪汪队》的圈和喜欢《小猪佩奇》的圈，大部分是重叠的！）
📝 阿星的定海神针（口诀）：
两量相包容斥诀，先加后减重合切。
总数已知求重叠，部分相加减全集。
🚀 举一反三：巩固练习
班级40人中，会弹钢琴的有18人，会拉小提琴的有12人，两项都会的有5人。问至少会一项乐器的有多少人？
（陷阱题）38个同学回答两个问题。答对第一题的有21人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。请问有多少人两题都答错了？
（生活应用）冷饮店今日卖出饮料45杯。其中，加了珍珠的奶茶有30杯，加了椰果的果茶有20杯。老板发现，有5杯既加了珍珠又加了椰果（创新口味）。请问，今天卖的饮料中，既没加珍珠也没加椰果的“纯饮品”有多少杯？
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：25人
练习二：9人
练习三：0杯
【解析】
练习一：基础应用。A∪B = A + B - A∩B = 18 + 12 - 5 = 25（人）。
练习二：逆向与全集应用。先求至少答对一题的人数：A∪B = 21 + 23 - 15 = 29（人）。那么两题都答错的人数 = 总人数 - 至少对一题的人数 = 38 - 29 = 9（人）。
练习三：综合应用。至少加了一种料的杯数：30 + 20 - 5 = 45（杯）。这恰好等于总杯数45杯。所以，既没加珍珠也没加椰果的杯数为 45 - 45 = 0（杯）。看来今天所有饮料都至少加了一种小料！
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