别只懂圆！揭秘莱洛三角形：能造发动机的神奇“胖三角”：典型例题精讲

阿星拆解：

1. 回到画图现场：我们是拿等边三角形的三个顶点当圆心，边长 \( 6 \, \text{cm} \) 当半径，画了三个圆弧。

2. 每个圆弧多大？ 因为是绕着等边三角形的顶点画，相邻两个顶点之间的夹角是 \( 60^\circ \)。但我们画的弧，对应的圆心角其实是等边三角形外角的度数，也就是 \( 120^\circ \)（因为 \( 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)）。

3. 算一段弧长：弧长公式是 \( \frac{\text{圆心角}}{360^\circ} \times 2\pi r \)。
所以，一段弧长 = \( \frac{120}{360} \times 2 \times \pi \times 6 = \frac{1}{3} \times 12\pi = 4\pi \, \text{cm} \)。

4. 算总周长：莱洛三角形由 3段 一模一样的圆弧组成。
所以总周长 = \( 3 \times 4\pi = 12\pi \, \text{cm} \)。

阿星敲黑板：

陷阱警报！ 这里的“恒定宽度 \( 10 \, \text{dm} \)”就是原始等边三角形的边长吗？是的！ 但题目问的是中心点的路径，不是莱洛三角形的周长！这是两个概念。

化解步骤：

1. 理解场景：莱洛三角形在宽度等于其恒定宽度（\( 10 \, \text{dm} \)）的正方形里转动。它的中心（也就是原始等边三角形的中心）怎么动？它会画一个圆！

2. 找圆心轨迹的半径：想象一下，莱洛三角形的中心到它每条边（其实是弧）的“垂直距离”是恒定的吗？对于恒宽曲线，其中心到边界任意方向的距离之和等于恒定宽度。更简单的办法：当莱洛三角形在正方形内紧贴边滚动时，其中心到正方形四边的距离会变化，但轨迹是一个以正方形中心为圆心、半径固定的圆。
这个圆的半径 \( R \) = 正方形边长的一半 - 莱洛三角形中心到其顶点的距离。
经过几何关系推导（此处记住结论即可），对于莱洛三角形，其中心轨迹圆的半径 \( r = \text{恒定宽度} \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) \)。已知恒定宽度 \( w = 10 \, \text{dm} \)。

3. 计算半径： \( r = 10 \times (1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) \approx 10 \times (1 - 0.57735) = 10 \times 0.42265 = 4.2265 \, \text{dm} \)。

4. 计算中心点路程： 路程就是这个圆的周长 \( C = 2\pi r \approx 2 \times 3.14 \times 4.2265 \)。
先算 \( 2 \times 4.2265 = 8.453 \)，再算 \( 8.453 \times 3.14 \)。
\( 8.453 \times 3 = 25.359 \)
\( 8.453 \times 0.14 = 1.18342 \)
相加得 \( 26.54242 \, \text{dm} \)，四舍五入约为 \( 26.54 \, \text{dm} \)。

思维迁移：

1. 识别原型： 这场景是不是很像车轮滚动？对！滚动的圆，边缘点的速度我们学过（质心平动速度+绕质心转动线速度）。核心原理没变：莱洛三角形作为“恒宽曲线”，在平面上无滑动滚动时，其中心（质心）的运动规律与圆类似！

2. 关键转化： 对于圆，滚动的角速度 \( \omega = v_{\text{中心}} / R \)（R是半径）。对于恒宽为 \( a \) 的莱洛三角形，其“等效滚动半径”是多少？就是其中心到支撑点的距离。当它在地面滚动时，这个距离是变化的。但我们可以从滚动周期来考虑。莱洛三角形滚动一周，其中心前进的距离正好等于它的“周长” \( \pi a \)（莱洛三角形周长 = π × 恒定宽度）。

3. 建立逻辑：

• 中心前进速度 \( v \) 是已知的。
• 滚动一周，中心前进距离 \( S = \pi a \)，所用时间 \( T = S / v = \pi a / v \)。这个 \( T \) 也是它自转的周期。
• 所以，其自转的角速度 \( \omega = 2\pi / T = 2\pi / (\pi a / v) = 2v / a \)。

4. 求解最大速度： 滚筒边缘点速度 = 中心速度 \( v \)（平动） + 绕中心转动的线速度 \( \omega \times r_{\text{瞬时}} \)（矢量加法）。当转动线速度方向与中心速度方向一致时，合速度最大。
转动线速度的最大值发生在该点到中心距离最远时。对于莱洛三角形，边缘到中心的最远距离就是原始等边三角形的顶点到中心的距离，即 \( a / \sqrt{3} \)。
所以，最大转动线速度 \( v_{\text{转max}} = \omega \times \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2v}{a} \times \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2v}{\sqrt{3}} \)。
因此，该点的最大合速度 \( v_{\text{max}} = v + \frac{2v}{\sqrt{3}} = v(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}) \approx v \times (1 + 1.1547) = 2.1547v \)。