数学魔法揭秘：信誉如何成为重复博弈的“不败基石”？一套秘籍带你举一反三！：典型例题精讲

💡 阿星精讲：信誉机制 的本质

想象一下，你和一个朋友约定每天互相帮忙打扫班级卫生。如果只看一天，偷懒会让你更轻松（单次博弈中的背叛诱惑）。但你们知道，明天、后天、大后天……还要继续做同桌（无限次重复博弈）。这时，你今天是否守信、是否合作，就建立起了你的“声誉”。朋友会根据你今天的表现，决定明天如何对待你。一个“说到做到”的好声誉，就像是你们之间心照不宣的契约，它让“如果你偷懒，我下次也偷懒”的“可信威胁”变得真实。正是这种对未来长期利益（总收益 \(U = \sum_{t=0}^{\infty} \delta^t \cdot \pi_t\)，其中 \(\delta\) 是贴现因子）的考量，才能让你们克服单次的贪心诱惑，打破囚徒困境，实现长期的双赢合作。信誉，就是这重复博弈的基石。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \(\delta \geq \frac{1}{2}\)。
解析： 见上文阿星拆解步骤。

变式一答案： \(\delta \geq \frac{2}{7}\)。
解析： 合作总收益 \(V_c = \frac{10000}{1-\delta}\)，背叛总收益 \(V_d = 15000 + \frac{8000\delta}{1-\delta}\)。令 \(V_c \geq V_d\)：
\(\frac{10000}{1-\delta} \geq 15000 + \frac{8000\delta}{1-\delta}\)
\(10000 \geq 15000(1-\delta) + 8000\delta\)
\(10000 \geq 15000 - 7000\delta\)
\(7000\delta \geq 5000\)
\(\delta \geq \frac{5}{7}\)？ 检查计算：10000 ≥ 15000 -15000δ + 8000δ => 10000 ≥ 15000 -7000δ => 7000δ ≥ 5000 => δ ≥ 5/7。 更正：应为 \(\delta \geq \frac{5}{7}\)。

变式二答案： \(T = 5.5\)。
解析： 根据触发策略的临界条件公式：\(\frac{R}{1-\delta} \geq T + \frac{P\delta}{1-\delta}\)。代入 \(R=4, P=1, \delta^*=0.6\)：
\(\frac{4}{1-0.6} \geq T + \frac{1*0.6}{1-0.6}\)
\(\frac{4}{0.4} \geq T + \frac{0.6}{0.4}\)
\(10 \geq T + 1.5\)
因此 \(T \leq 8.5\)？ 注意，题目问的是已知δ*求T，公式应取等号：
\(\frac{4}{0.4} = T + \frac{0.6}{0.4}\) => \(10 = T + 1.5\) => \(T = 8.5\)。 更正：应为 \(T = 8.5\)。

变式三思路解析： 这是一个拓展思考。B惩罚A的可信度，不仅取决于B自己的决心（经典条件 \(\delta \geq \frac{1}{2}\)），还取决于C是否响应。如果C不响应（概率 \(1-k\)），A可能仅损失与B的合作，但仍能与C正常交易，这将削弱B威胁的可信性。因此，网络信誉要生效，需要更高的 \(\delta\) 或更高的传播效率 \(k\)。可以建立模型：A背叛B的预期总收益需要小于一直合作的收益，其中惩罚阶段的收益需考虑来自B和C（以概率k）的双重损失。这揭示了现实社会中，信息透明（k值高）和重视未来（δ值高）对维护复杂网络信誉至关重要。