淋雨最少跑多快？20年教研专家揭秘“雨中策略”神级解题法，附口诀！：典型例题精讲
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：雨中策略 的本质
想象一下，你的身体是一个移动的长方体框架！当我们在雨中奔跑时，淋到身上的雨水来自两个方向：从头顶垂直落下的雨和因你奔跑而迎面撞上的雨。这就是“身体截面模型”的核心。
- 头顶（垂直截面）：接受的是“天降甘霖”，淋雨量只取决于你在雨中的时间。时间越长，淋得越多。
- 正面（水平截面）：接受的是“正面冲撞”，淋雨量取决于你撞上的雨水量，这与你的速度和雨的水平速度分量有关。
因此，总淋雨量 \( R \) 可以建模为：垂直分量 \( R_v \) 与水平分量 \( R_h \) 之和。而你的速度 \( v \) 同时影响着两个分量——速度越快，时间越短，\( R_v \) 越小；但速度越快，单位时间撞上的雨也越多，\( R_h \) 越大。我们的目标，就是找到这个矛盾的平衡点，求出令总淋雨量 \( R(v) \) 最小的那个最佳速度 \( v_{opt} \)**。
🔥 经典例题精析
题目：小明要从距离 \( L = 100 \) 米的地方跑回家。雨竖直下落的速度为 \( u = 10 \) 米/秒，降雨密度均匀。假设小明的身高为 \( h = 1.7 \) 米，身体厚度（胸背宽度）为 \( d = 0.3 \) 米，肩膀宽度（侧宽）为 \( w = 0.5 \) 米。若他将身体视为长方体，且只考虑头顶和正面的淋雨（忽略背面和侧面），那么他以多大的速度 \( v \) 奔跑，总淋雨量 \( Q \) 最少？
阿星拆解：
第一步：建立模型，分解雨量。
淋雨总量 \( Q \) = 头顶淋雨量 \( Q_1 \) + 正面淋雨量 \( Q_2 \)。
第二步：计算垂直分量 \( Q_1 \)**。
头顶面积 \( S_1 = w \times d = 0.5 \times 0.3 = 0.15 \) 平方米。
在雨中时间 \( t = L / v = 100 / v \) 秒。
垂直方向雨水的“体积流量”为：面积×雨速。所以 \( Q_1 = S_1 \times u \times t = 0.15 \times 10 \times (100 / v) = 150 / v \)。
第三步：计算水平分量 \( Q_2 \)**。
正面面积 \( S_2 = h \times w = 1.7 \times 0.5 = 0.85 \) 平方米。
注意，当你以速度 \( v \) 奔跑时，相对于你，雨不仅竖直向下，还有一个水平向左的相对速度 \( v \)。因此，撞击你正面的有效雨速在水平方向的分量就是 \( v \)。
所以 \( Q_2 = S_2 \times v \times t = 0.85 \times v \times (100 / v) = 85 \)。
（神奇吗？因为 \( t \propto 1/v \)，所以 \( v \times t = L \)，\( Q_2 \) 竟然是一个与速度 \( v \) 无关的常数！这意味着只要雨完全竖直，正面淋雨量是固定的。）
第四步：构建函数，求最值。
总淋雨量函数为：\( Q(v) = Q_1 + Q_2 = \frac{150}{v} + 85 \)。
这是一个关于 \( v > 0 \) 的单调减少函数。因为 \( Q_2 \) 是常数，\( Q_1 \) 随 \( v \) 增大而减小。所以，理论上 \( v \) 越大，\( Q \) 越小。
口诀：
头顶淋雨看时间，时间越短量越浅；
正面撞击速度关，若雨竖直成定值；
总淋雨量随速减，全力以赴最快解。
（本题结论：由于雨完全竖直，应以最快速度奔跑。）
🚀 举一反三：变式挑战
小华骑车通过一段 \( L = 200 \) 米的路。雨不是竖直的，而是以速度 \( u = 8 \) 米/秒，与竖直方向成 \( 30^\circ \) 角倾斜下落（风从前方吹来）。小华骑车时，有效淋雨面积为头顶 \( 0.2 \text{m}^2 \) 和正面 \( 0.6 \text{m}^2 \)。求淋雨总量 \( Q(v) \) 的表达式，并讨论最佳策略。
已知在某种风雨条件下（雨速 \( u \)，与竖直方向夹角 \( \theta \) ），某人以速度 \( v = 5 \text{m/s} \) 奔跑时，测得其头顶和正面单位时间的淋雨量之比为 \( 1:3 \)。若此人能承受的总淋雨量上限为 \( Q_{max} \)，请问他最多能在雨中坚持跑多远的距离 \( L \)？
一场雨，雨滴下落速度 \( u \) 恒定，但方向在竖直平面内均匀随机（即任何方向概率相等）。此时，一个面积为 \( S_1 \) 的顶面和面积为 \( S_2 \) 的正面组成的物体，以速度 \( v \) 匀速通过距离 \( L \)。请分析，是否存在一个非无穷大的最优速度 \( v_{opt} \) 使得期望淋雨量最小？
答案与解析
经典例题： 由分析可知，\( Q(v) = \frac{150}{v} + 85 \)，函数在 \( v > 0 \) 上单调递减，因此速度越快淋雨越少，不存在有限值的最优解，应尽可能快跑。
变式一解析：
1. 分解雨速：雨速竖直分量 \( u_v = u \cos 30^\circ = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \ \text{m/s} \)；水平分量（迎面而来） \( u_h = u \sin 30^\circ = 8 \times 0.5 = 4 \ \text{m/s} \)。
2. 垂直淋雨量：\( Q_1 = S_1 \times u_v \times t = 0.2 \times 4\sqrt{3} \times (200 / v) = \frac{160\sqrt{3}}{v} \approx \frac{277.1}{v} \)。
3. 水平淋雨量：此时撞击正面的有效相对速度水平分量为 \( (v + u_h) \)（因为风和运动方向都迎面）。\( Q_2 = S_2 \times (v + u_h) \times t = 0.6 \times (v + 4) \times (200 / v) = 120 \times \frac{v+4}{v} = 120 + \frac{480}{v} \)。
4. 总淋雨量：\( Q(v) = \frac{277.1}{v} + 120 + \frac{480}{v} = 120 + \frac{757.1}{v} \)。
结论：函数仍为单调递减，应尽快通过。
变式二解析：
1. 设头顶面积 \( S_1 \)，正面面积 \( S_2 \)。单位时间头顶淋雨强度：\( I_1 = S_1 \cdot u \cos \theta \)。
2. 单位时间正面淋雨强度：\( I_2 = S_2 \cdot (v + u \sin \theta) \)（假设风迎面）。
3. 已知 \( I_1 : I_2 = 1:3 \)，即 \( \frac{S_1 u \cos\theta}{S_2 (v + u \sin\theta)} = \frac{1}{3} \)。由此可解出 \( S_1 / S_2 \) 与 \( u, \theta, v \) 的关系。
4. 总淋雨量 \( Q = (I_1 + I_2) \times t = (I_1+I_2) \times (L / v) \)。已知 \( Q_{max} \)，则最远距离 \( L_{max} = \frac{Q_{max} \cdot v}{I_1 + I_2} \)，其中 \( I_1, I_2 \) 可由已知比例和 \( v \) 求出具体表达式。
变式三解析（思路）：
这是期望值问题。由于雨的方向均匀随机，对于任意一个特定的雨滴方向，其淋雨量计算方式同前。需要对所有方向求平均（积分）。
关键点：垂直分量的期望淋雨量仍然正比于 \( 1/v \)（因为只依赖于时间）。
水平分量的期望淋雨量，由于雨可能从前方、侧面、后方来，其与人的相对速度计算变得复杂。但经过积分计算会发现，期望的水平淋雨量不再是一个常数，而是关于 \( v \) 的一个函数，通常包含一个与 \( v \) 成正比的项。
因此，总期望淋雨量 \( E[Q(v)] = \frac{A}{v} + B \cdot v + C \)（\( A, B, C \) 为常数）。对此函数求导，令导数为零：\( -\frac{A}{v^2} + B = 0 \)，可得存在一个有限最优解 \( v_{opt} = \sqrt{A/B} \)。
结论：当雨的方向随机时，确实存在一个有限的、非零的最佳速度。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF