四年级上学期期末数学 商不变的规律知识点总结与易错题解析：典型例题精讲

💡 阿星精讲：总结：商不变的规律 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天咱们来聊一个让计算变“懒”的大招——商不变的规律。想象一下，你有一块大蛋糕（被除数），要平均分给一群小朋友（除数）。这时候，神奇的事情发生了：如果来吃蛋糕的小朋友人数翻倍了，但同时你也立刻把蛋糕变大一倍，那每个小朋友分到的蛋糕（商）一点没变！这就是“被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变”。但是，千万记住！如果分完还有剩下的边角料（余数），它可就跟原来不一样了，这个坑每年都有人跳！
• 阿星口诀：同乘同除一家亲，商的值呀稳如金。若要简便来计算，余数身份已更新！
• 公式推导：
  1. 设原来除法为：\( a \div b = q \cdots r \) （\( b eq 0 \)）。
  2. 被除数和除数同时乘以 \( k \) （\( k eq 0 \)）： \( (a \times k) \div (b \times k) = q \cdots (r \times k) \)。可以验算：\( a \times k = (b \times k) \times q + r \times k \)。
  3. 被除数和除数同时除以 \( k \) （\( k eq 0 \)）： \( (a \div k) \div (b \div k) = q \cdots (r \div k) \)（必须能整除）。
  4. 核心等式：\( \frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k} \)。看，商 \( \frac{a}{b} \) 像穿了“隐身衣”，根本没变！

📐 图形解析（总结：商不变的规律 可视化）

【图形解读】如图所示，我们用一个矩形代表总数（被除数 \( a \)），用一排小方块代表要分的份数（除数 \( b \)）。左边是原始状态，商 \( q \) 就是每份的大小，余数 \( r \) 是分不完的部分（斜条纹）。当我们把总数 \( a \) 和份数 \( b \) 同时乘以 \( k \)（比如 \( k=2 \)），就像把矩形和每一份都复制了相同的倍数。你会发现，新的每一份大小和原来完全一样，所以商 \( q \) 不变。但是，原来剩下的那点“边角料” \( r \) 也被复制了 \( k \) 倍，所以新余数变成了 \( r \times k \)。记住这个“复制（扩大）效应”，就能避开余数的坑！

⚠️ 易错警示：星火避坑指南

🔥 经典题型：三例精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（5道）

1. 根据 \( 36 \div 4 = 9 \)，直接写出得数：\( 360 \div 40 = ? \)， \( 3600 \div 400 = ? \)
2. 根据 \( 81 \div 9 = 9 \)，直接写出得数：\( 162 \div 18 = ? \)， \( 27 \div 3 = ? \)
3. 口算：\( 280 \div 40 = ? \)， \( 4500 \div 500 = ? \)， \( 6400 \div 800 = ? \)
4. 判断：在除法里，被除数乘5，除数除以5，商不变。 （对/错）
5. 填空：\( 350 \div 70 = (350 \div 10) \div (70 \div \underline{\hspace{1em}}) = 35 \div 7 \)。

第二关：奥数挑战（5道）

1. 如果 \( A \div B = 12 \)，那么 \( (A \times 3) \div (B \times 3) = ? \)， \( (A \div 2) \div (B \div 2) = ? \)。
2. \( 两数相除商是8，余数是6。如果被除数和除数同时乘10，那么商是（ ），余数是（ ）。 \)
3. 一个数除以80，误看成除以40，得到的商是25，余数是8。正确的结果应该是多少？
4. 已知 \( 222 \div 6 = 37 \)，不计算，直接写出 \( 444 \div 12 \) 的商和余数。
5. 小明在计算一道除法题时，把被除数360末尾的0漏看了，结果得到的商比正确商少了81。正确的除数和商各是多少？

第三关：生活应用（5道）

1. （网购优惠）某网店“买三送一”，即支付3件的钱可得4件商品。这相当于在原价基础上打了几折？这可以用“总价÷数量=单价”的商不变思想来分析。
2. （AI图像缩放）一张图片的分辨率是1920×1080像素，现要等比例缩放成分辨率为960×540的图片。长和宽同时除以了相同的数吗？缩放前后图片的宽高比（长÷宽）发生变化了吗？
3. （工程配比）建筑工地需要一种混凝土，水泥、沙子和石子的质量比是 \( 2:3:5 \)。如果工地运来了60吨水泥，为了保持这个比例不变，沙子和石子需要分别运来多少吨？
4. （汇率换算）已知1美元可以兑换约7.2元人民币。阿星有720元人民币，可以兑换多少美元？如果汇率变成1美元兑换7.1元人民币，同样的人民币能兑换的美元数是变多还是变少？这体现了除法中什么量的变化？
5. （速度不变）一辆汽车以匀速行驶，2小时行驶了160公里。照这个速度，8小时能行驶多少公里？这里行驶的总路程和时间成什么关系？你能用商不变的规律解释吗？（提示：速度 = 路程 ÷ 时间）

🤔 专家问答 FAQ

参考答案

第一关： 1. 9， 9； 2. 9， 9； 3. 7， 9， 8； 4. 错； 5. 10
第二关： 1. 12， 12； 2. 8， 60； 3. 商12余28； 4. 商37余0； 5. 除数4， 商90
第三关： 1. 七五折； 2. 同时除以2，宽高比不变； 3. 沙子90吨，石子150吨； 4. 100美元，变多，体现了除数变化引起商的反向变化； 5. 640公里，正比例关系，速度（商）不变。