初一数学期末急救：解方程（去分母）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：解方程（去分母） 的核心避坑原理

• 概念重塑：想象解方程就像在户外活动，方程中的每一项（带x的分数项、常数项等）都是一个在户外的人。去分母（方程两边乘以所有分母的最小公倍数）就像 “天降暴雨” 。阿星的灵魂拷问来了：“暴雨谁没带伞？” 很多同学只记得给带分母的“人”（分数项）打伞（乘最小公倍数），却把孤零零站在雨里的常数项“1”给忘了！比如方程 \( \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3} \)，两边乘6去分母时，必须确保 每一项 都被“淋到”：\( \frac{x}{2} \times 6 \)， \( 1 \times 6 \)， \( \frac{x}{3} \times 6 \)，得到 \( 3x + 6 = 2x \)。记住，大雨面前，人人平等，无一幸免！
• 避坑口诀：
  大雨倾盆无死角，
  每项都要乘到好。
  分子若是多项式，
  括号护体别忘了！

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型 - “忘给常数项打伞”）：去分母时，只给有分母的项乘以最小公倍数，常数项“原地罚站”，忘了乘。导致等式失衡。
  ✅ 正解：去分母是对方程两边进行的整体乘法运算，每一项都必须参与。把最小公倍数写出来后，用“分发雨伞”的心态，逐个去乘。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型 - “分子没撑好保护伞”）：当分子是一个多项式（如 \(x+1\)）时，去分母后，这个整体需要加括号。很多同学会写成 \(2 \times x+1\)，错误地只让 \(x\) 乘了2，而 \(1\) 又“淋雨”了。
  ✅ 正解：去分母后，如果原分子是多项式，必须立即给它加上括号，形成一个整体，然后再去括号。即 \(2 \times (x+1)\)。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型 - “约分看花眼”）：在去分母的乘法计算中，进行约分时粗心，或者错误地约掉了不该约的项（比如含未知数的项）。
  ✅ 正解：约分要冷静！只约分数字与数字，或者数字与分母。明确：“未知数x不能和分母直接约掉”。例如，\( \frac{3x}{6} \) 可以约分为 \( \frac{x}{2} \)，但 \( \frac{x+2}{x} \) 绝对不能约掉 \(x\)。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 解方程 \( \frac{x}{3} = 2 - \frac{x}{6} \)，去分母两边乘6，得到 \( 2x = 12 - x \)。（ ）
2. 解方程 \( \frac{2y-1}{3} - 2 = y \)，去分母两边乘3，得到 \( 2y-1 - 6 = 3y \)。（ ）
3. 方程 \( \frac{x}{0.5} = 1 \) 去分母，两边乘0.5，得到 \( x = 0.5 \)。（ ）
4. 解方程 \( 1 - \frac{x+2}{5} = 0 \)，去分母两边乘5，得到 \( 5 - x + 2 = 0 \)。（ ）
5. 分式方程 \( \frac{3}{x} = 2 \) 去分母，两边乘 \( x \)，得到 \( 3 = 2 \)。（ ）

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 方程 \( \frac{x}{4} + 2 = \frac{x}{3} \) 两边同乘12去分母后，方程应变为 ______ 。
2. 方程 \( \frac{2m-1}{3} - m = 1 \) 去分母时，方程两边同乘3，得到 ______ 。（请写出完整的方程）
3. 在解方程 \( \frac{3}{2}(2x-1) - 2 = \frac{x}{2} \) 时，为了去分母，方程两边应同乘 ______ 。
4. 若方程 \( \frac{x-1}{2} = \frac{a}{3} \) 的解是 \( x = 5 \)，则常数 \( a = \) ______ 。
5. 一个数的 \( \frac{1}{3} \) 比它的 \( \frac{1}{2} \) 少5，设这个数为 \( x \)，根据题意列出的方程是 ______ 。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。 解析：右边是 \( 2 - \frac{x}{6} \)，去分母时，常数项 \( 2 \) 也要乘6。正确结果应为 \( 2x = 12 - x \)。原解析漏了常数项乘6，但答案碰巧一样，过程错误。
2. ❌ 错。 解析：方程左边第二项“-2”是常数项，去分母时也必须乘3。正确应为 \( (2y-1) - 6 = 3y \)。题目中写成了 \( 2y-1 - 6 \)，虽然结果一致，但 \( 2y-1 \) 作为一个整体，应写作 \( (2y-1) \) 更规范，不过主要错误是“-2”没乘3，这里它已经乘了（-6），所以本题判断依据是“-2”是否处理，实际上它处理了。让我们重新审视：原方程 \( \frac{2y-1}{3} - 2 = y \)，乘3得：\( (2y-1) - 2 \times 3 = 3y \) => \( 2y-1 - 6 = 3y \)。题目所写“\( 2y-1 - 6 = 3y \)”是正确的。 因此本题应为 ✅ 对。抱歉，我需要纠正。题目描述“得到 \( 2y-1 - 6 = 3y \)” 是正确的。陷阱在于学生可能忘记“-2”乘3，但这里没有忘。所以本题正确。
3. ✅ 对。 解析：\( \frac{x}{0.5} = x \div 0.5 = 2x \)，但按题目描述“两边乘0.5”去分母，是正确操作： \( \frac{x}{0.5} \times 0.5 = 1 \times 0.5 \) => \( x = 0.5 \)。
4. ❌ 错。 解析：去分母后，分子 \( x+2 \) 是一个整体，应加上括号： \( 5 - (x+2) = 0 \)。去掉括号后是 \( 5 - x - 2 = 0 \)，而不是 \( 5 - x + 2 = 0 \)。符号错误！
5. ❌ 错。 解析：去分母两边乘 \( x \)，右边 \( 2 \) 也要乘 \( x \)，应得到 \( 3 = 2x \)。常数项“2”没打伞！

第二关：防坑演练

1. \( 3x + 24 = 4x \) 解析：\( \frac{x}{4} \times 12 = 3x \)， \( 2 \times 12 = 24 \)， \( \frac{x}{3} \times 12 = 4x \)。
2. \( (2m-1) - 3m = 3 \)， 或 \( 2m-1 - 3m = 3 \)。 解析：\( \frac{2m-1}{3} \times 3 = (2m-1) \)， \( -m \times 3 = -3m \)， \( 1 \times 3 = 3 \)。
3. 2 解析：方程中分母只有2（注意 \( \frac{3}{2} \) 是系数，其分母2也需要被乘掉），所以两边同乘2。
4. 6 解析：将 \( x=5 \) 代入方程： \( \frac{5-1}{2} = \frac{a}{3} \) => \( 2 = \frac{a}{3} \) => 两边乘3得 \( a = 6 \)。
5. \( \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 5 \) 或 \( \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 5 \)。 解析：“一个数的 \( \frac{1}{3} \) 比它的 \( \frac{1}{2} \) 少5”，即 \( \frac{1}{2}x \)（较大的）减去 \( \frac{1}{3}x \)（较小的）等于5。