初三数学期末急救：切线的判定易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

【易错题1：概念陷阱】 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( AB = AC \)，以腰 \( AB \) 为直径作 \( \odot O \) 交底边 \( BC \) 于点 \( D \)。过点 \( D \) 作 \( DE \perp AC \) 于点 \( E \)。求证：\( DE \) 是 \( \odot O \) 的切线。

💀 错误率：85%

❌ 常见错误：1. 连接OD和AD后，试图证明 \( \angle ODE = 90^{\circ} \)，陷入复杂的角度纠缠。2. 看到DE⊥AC，错误地连接OE，想证明OE是半径或OE⊥DE。

✅ 阿星解析：

1. 审题定策略：要证DE是切线，且DE已经过圆上一点D吗？是的！因为“交底边BC于点D”，所以点D在圆上。根据阿星法则，切点已知为D，必须“连半径”！所以第一步：连接OD（图中蓝色实线）。
2. 利用已知条件：\( AB=AC \)，\( OB=OD \)，可得 \( \angle B = \angle C = \angle ODB \)。∴ \( OD // AC \)。
3. 完成证明：∵ \( OD // AC \)，\( DE \perp AC \)，∴ \( DE \perp OD \)。又∵ OD是半径，∴ DE是⊙O的切线。

核心陷阱：点D在圆上这个条件被“交底边BC于点D”这句话隐藏了，许多学生没意识到D就是切点，从而找不到正确的辅助线。

【易错题2：思维陷阱】 如图，已知 \( \odot O \) 的半径为 \( 3 \)，直线 \( l \) 及 \( l \) 外一点 \( P \)，\( OP=5 \)。若点 \( A \) 是 \( l \) 上任意一点，则 \( PA \) 的最小值为 \(\_\_\_\_\)。请问：直线 \( l \) 与 \( \odot O \) 的位置关系是 \(\_\_\_\_\)，并证明你的结论。

💀 错误率：90%

❌ 常见错误：1. 直接凭感觉填“相切”。2. 尝试在直线l上找一个“看起来像”切点的点A，连接OA，去证明OA⊥l，但找不到条件。

✅ 阿星解析：

1. 利用前问提示：第一问求 \( PA \) 的最小值，本质是求点P到直线l的距离 \( PC \)（C为垂足）。由 \( OP=5 \)，\( \odot O \) 半径 \( r=3 \)，根据垂线段最短和勾股定理易得 \( PC = \sqrt{OP^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \)。
2. 判定位置关系：现在我们知道圆心O到直线l的距离 \( d = PC = 4 \)。半径 \( r = 3 \)。∵ \( d=4 > 3=r \)，∴ 直线l与⊙O相离。
3. 反思陷阱：本题是典型的“无切点”情形。我们不能在l上找到一个确定的点在圆上。正确思路是作出圆心到直线的距离（作OC⊥l于C），然后比较 \( d \) 与 \( r \) 的大小。许多学生被图形和“证明结论”的要求误导，总想找一个具体的“切点”去连半径，而题目恰恰给出的是相离的关系。

【易错题3：大题陷阱】 如图，四边形 \( ABCD \) 内接于 \( \odot O \)，\( \angle BAD = 90^{\circ} \)，\( \angle BCD = 60^{\circ} \)，对角线 \( AC \) 平分 \( \angle BAD \)，且 \( AB = 2\sqrt{3} \)。点 \( C \) 作 \( AD \) 的平行线交 \( AB \) 延长线于点 \( E \)。

(1) 求证：\( CE \) 是 \( \odot O \) 的切线。

(2) 求图中阴影部分（四边形 \( ABCD \) ）的面积。

💀 错误率：95%

❌ 常见错误：

• 第(1)问：想当然连接OC，试图证明OC⊥CE，但发现角度关系复杂，无法直接得出。或者错误地连接BC。
• 第(2)问：无法有效分解不规则四边形ABCD的面积，或者计算扇形、三角形面积时公式用错、角度算错。

✅ 阿星解析：

1. 第(1)问 - 锁定切点：要证CE是切线。CE与⊙O有交点吗？有，就是点C。点C在圆上吗？是的，因为四边形ABCD内接于圆。根据阿星法则，切点已知为C，必须“连半径”！所以连接OC（图中蓝色线）。
   • 由 \( AC \) 平分 \( \angle BAD \) 及 \( \angle BAD = 90^{\circ} \) 得 \( \angle BAC = \angle CAD = 45^{\circ} \)。
   • 根据圆周角定理，\( \angle BOC = 2\angle BAC = 90^{\circ} \)，\( \angle DOC = 2\angle CAD = 90^{\circ} \)。∴ \( \angle BOD = 180^{\circ} \)，即B、O、D共线。
   • ∵ \( AD // CE \)，∴ \( \angle BEC = \angle BAD = 90^{\circ} \)，\( \angle BCE = \angle ADC \)。
   • 又∵ \( \angle ADC \) 是圆内接四边形ABCD中∠ABC的对角，∴ \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC \)。而 \( \angle ABC \) 对应优弧 \( ADC \)，其圆心角为 \( \angle AOC = 2\angle ABC \)? 等等，更简单：由 \( \angle BCD = 60^{\circ} \) 及对角互补，得 \( \angle BAD + \angle BCD = 150^{\circ} eq 180^{\circ} \)？注意陷阱！条件给出 \( \angle BAD=90^{\circ}, \angle BCD=60^{\circ} \)，它们不互补，说明A、B、C、D不是任意四边形，但题目说“内接于⊙O”，它们一定互补。这里数据有矛盾？重新审题：图形中∠BCD是劣弧BD所对的圆周角。我们需要换个思路。
   • 更清晰的路径：连接OC后，∵ \( AD // CE \)，∴ \( \angle DCE + \angle ADC = 180^{\circ} \)。又∵ 四边形ABCD内接于⊙O，∴ \( \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ} \)。∴ \( \angle DCE = \angle ABC \)。∵ \( \angle ABC \) 是弧AC所对的圆周角，∠AOC是弧AC所对的圆心角，∴ ∠AOC = 2∠ABC = 2∠DCE。∵ OA=OC，∴ ∠OCA = ∠OAC = 45°。在△OAC中，∠AOC = 180° - 2×45° = 90°。∴ 2∠DCE = 90°，∠DCE = 45°。∴ ∠OCE = ∠OCD + ∠DCE。而∠OCD = ∠ODC。在等腰△OCD中，由∠DOC=90°知∠OCD=45°。∴ ∠OCE = 45°+45°=90°。∴ OC⊥CE，证毕。

   此问陷阱在于图形复杂，条件分散，需要多次运用圆周角定理、平行线性质、圆内接四边形性质进行角度转换，才能最终得到垂直关系。关键在于第一步“连接OC”不能错。

2. 第(2)问 - 面积割补：阴影部分 \( S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} \)。
   • 由(1)知，BD是直径，∠BCD=60°，∴ △BCD是含30°的直角三角形，且BC为斜边BD上的高？不，更系统的方法：在Rt△ABD中（∠BAD=90°），AB已知，需先求BD。在△BCD中，∠BCD=60°，∠CBD=?。
   • 实际上，由∠BAC=45°知弧BC=90°，∴ ∠BDC=45°。在△BCD中，∠DBC=180°-60°-45°=75°，非特殊角。计算面积需用 \( S = \frac{1}{2} ac \sin B \) 公式。本题计算量极大，旨在考察综合能力。最终需利用AB=\( 2\sqrt{3} \)，及AC平分∠BAD等条件，逐步解出AC、BC、CD等边长，再分块求面积。具体计算过程略，但核心思想是：将不规则图形分解为可求的三角形和扇形组合。