勾股定理逆定理傻瓜教程：一张图秒懂，三步判定直角！：典型例题精讲

阿星拆解：

第一步：找“老大”。比较三个数 6， 8， 10，谁最大？显然是 10。所以我们认定： \( c = 10 \)， 那么 \( a = 6 \), \( b = 8 \) （或者反过来也行，加法不分前后）。

第二步：算“平方和”。计算两条“小弟”边的平方和： \( a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)。

第三步：算“老大”的平方。 \( c^2 = 10^2 = 100 \)。

第四步：当“裁判”，看等号。左边 \( a^2 + b^2 = 100 \)， 右边 \( c^2 = 100 \)。 左边等于右边，即 \( a^2 + b^2 = c^2 \)。

结论： 根据勾股定理逆定理，这个三角形是直角三角形。

阿星敲黑板：

陷阱出现了！三个长度的单位不一致，有“米(m)”，也有“厘米(cm)”。如果我们直接算，就像把人民币和美元直接相加，肯定会出错！

正确拆解：

第一步：统一“货币单位”（单位换算）。我们统一成“厘米”吧。1 m = 100 cm。
所以：0.9 m = 90 cm； 1.2 m = 120 cm； 150 cm 保持不变。
现在三边是：90 cm, 120 cm, 150 cm。

第二步：找“老大”。150 cm 最长，所以 \( c = 150 \)， \( a = 90 \)， \( b = 120 \)。

第三步：算“平方和”。 \( a^2 + b^2 = 90^2 + 120^2 = 8100 + 14400 = 22500 \)。

第四步：算“老大的平方”。 \( c^2 = 150^2 = 22500 \)。

第五步：当“裁判”。 \( a^2 + b^2 = 22500\)， \( c^2 = 22500\)， 等式成立！

结论： 这个三角形是直角三角形。记住：计算前，务必确保单位统一！

思维迁移：

场景变成了网格图，问题变成了“判断三角形形状”。别慌！我们的“魔法卷尺”（逆定理）依然能用。关键在于：如何用网格点的坐标求出三条边的长度？

第一步：用“格子”量边长（构造直角三角形求斜边，这本身就用到了勾股定理正定理）。
- 求 \( AB \)：从A(0,0)到B(4,2)，横向走了4格，纵向走了2格。所以 \( AB^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20 \)， 即 \( AB = \sqrt{20} \)。我们只需要平方值，所以记住 \( AB^2 = 20 \)。
- 求 \( BC \)：从B(4,2)到C(2,4)，横向走了 |4-2|=2 格，纵向走了 |2-4|=2 格。所以 \( BC^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \)。
- 求 \( AC \)：从A(0,0)到C(2,4)，横向走了2格，纵向走了4格。所以 \( AC^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \)。

现在我们知道三边的平方分别是：20， 8， 20。

第二步：找“老大”（谁的平方最大）。20， 8， 20。最大的平方是20。注意，有两条边的平方都是20，这说明它们是相等的。那么，谁当“老大” \( c \) 呢？“老大”必须是唯一的、最长的那条边。 这里两条边相等，所以这个三角形没有唯一的最长边（是等腰三角形）。我们任选一个“20”作为 \( c \) 来验证。

第三步：列式验证。
方案一：设 \( c^2 = 20 \)， \( a^2 = 8 \)， \( b^2 = 20 \) (另一个)。 则 \( a^2 + b^2 = 8 + 20 = 28 eq c^2 (20) \)，不成立。
方案二：设 \( c^2 = 20 \)， \( a^2 = 20 \)， \( b^2 = 8 \)。 则 \( a^2 + b^2 = 20 + 8 = 28 eq c^2 (20) \)，也不成立。

第四步：下结论。因为任何将“20”作为斜边的尝试都无法满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，所以这个三角形不是直角三角形。又因为有两边平方相等（即边长相等），所以它是一个等腰三角形。