盈亏问题一看就懂：两步搞定“两次都多”或“两次都少”的难题！：典型例题精讲
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三年级
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最近更新
2025-12-20
盈亏问题通关指南：两次都多（或少），一招搞定！
💡 阿星起步：双盈双亏的底层逻辑
想象一下，你是班上的生活委员，老师让你给大家分苹果。
第一次，你计划每人分 \( 3 \) 个，结果发现苹果发完后还多出 \( 10 \) 个（这就是“盈”）。
第二次，你改变计划，想每人分 \( 5 \) 个，结果发现苹果发完还是多，但这次只多 \( 2 \) 个了。
发现了吗？两次分，苹果都分不完，都有剩余。 这种“偏差方向”相同的情况，就叫“同向偏差”，也就是“双盈”。
那“双亏”呢？就是两次分，苹果都不够，大家都还想要。
核心思想： 为什么从“多 \( 10 \) 个”变成“多 \( 2 \) 个”？因为第二次每人多分了 \( (5-3) \) 个。多分的这些苹果，正是从第一次多出来的那部分里“吃掉”的。所以，两次盈的差值（\( 10-2 \)），等于每人多分的数量（\( 5-3 \)） 乘以总人数。
倒过来一想：人数 = (大盈 - 小盈) ÷ 每次分配差。看，公式自然就出来了，它不是一个需要死记的魔法，而是来自一个非常朴素的生活场景。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】老师给同学们分糖果。如果每人分 \( 5 \) 颗，最后会剩下 \( 18 \) 颗（盈）；如果每人分 \( 7 \) 颗，最后会剩下 \( 2 \) 颗（盈）。请问一共有多少名同学？
阿星拆解：
1. 判断类型： 两次分配都有“剩余”（都多出来了），这是典型的“双盈”问题。
2. 标出数据： 第一次每人 \( 5 \) 颗，盈 \( 18 \) 颗（这是大盈，因为剩得多）。第二次每人 \( 7 \) 颗，盈 \( 2 \) 颗（这是小盈）。
3. 套用“同向偏差”思想： 从剩 \( 18 \) 颗到只剩 \( 2 \) 颗，总共被“吃掉”了 \( 18 - 2 = 16 \) 颗糖。这些糖被谁吃掉了？是因为每人多分了 \( 7 - 5 = 2 \) 颗。
4. 列式计算： 人数 = (大盈 - 小盈) ÷ 分配差 = \((18 - 2) ÷ (7 - 5)\)。
5. 计算： \(16 ÷ 2 = 8\)（人）。
答：一共有 \( 8 \) 名同学。
【进阶例题】学校给宿舍分配房间。如果每间住 \( 6 \) 人，则空出 \( 2 \) 间房（注意：这是“亏”还是“盈”？）；如果每间住 \( 4 \) 人，则刚好住满。一共有多少间宿舍？
阿星敲黑板：
陷阱在此！ “空出 \( 2 \) 间房”意思是房间没住满，有剩余。对人来说，是“不够住”吗？不！房间有剩，说明人不够，对“人”这个被分配的对象来说，这是“亏”（人数不足）！但我们的公式是针对被分配对象（人）的盈亏。我们需要转换视角。
化解步骤：
1. 统一视角： 我们求的是宿舍间数，但盈亏公式算的是“被分配对象”的数量。本题被分配对象是“学生”。
2. 将条件转化为对“人”的盈亏：
- 方案一：每间 \( 6 \) 人，空 \( 2 \) 间。如果住满，这 \( 2 \) 间还能住 \( 6 \times 2 = 12 \) 人。所以，人少了 \( 12 \) 人，即“亏 \( 12 \) 人”。
- 方案二：每间 \( 4 \) 人，刚好住满。即“不盈不亏”（盈 \( 0 \)，亏 \( 0 \)）。
3. 判断类型： 方案一亏 \( 12 \)，方案二亏 \( 0 \)（或说盈 \( 0 \)）。两次都是“不够”（亏），这是“双亏”。公式为：(大亏 - 小亏) ÷ 分配差。
4. 标出数据： 大亏 \( 12 \)，小亏 \( 0 \)。分配差：\( 6 - 4 = 2 \) 人/间。
5. 列式计算（求人数）： 人数 = \((12 - 0) ÷ (6 - 4) = 12 ÷ 2 = 6\)（人）？等等！ 这个 \( 6 \) 是总人数吗？不对，我们代公式求出的是被分配对象（学生）的总数。总人数是 \( 6 \) 人？这显然不符合“空出2间房”的常理。哪里错了？
6. 关键检查： 我们算出来“总人数”是 \( 6 \) 人。验证一下：如果 \( 6 \) 个人，每间住 \( 4 \) 人，需要 \( 1.5 \) 间房，不可能“刚好住满”。说明我们的逻辑链有漏洞。
7. 重新审视： 我们设宿舍有 \( x \) 间。那么：
- 方案一总人数：\( 6 \times (x - 2) \) （因为空了2间）
- 方案二总人数：\( 4 \times x \)
人数是固定的，所以 \( 6(x - 2) = 4x \)。
8. 解方程： \( 6x - 12 = 4x \) → \( 2x = 12 \) → \( x = 6 \)（间）。
原来，宿舍是 \( 6 \) 间。总人数是 \( 4 \times 6 = 24 \) 人。用盈亏公式验证（对“人”）：方案一亏 \( 6 \times 2 = 12 \) 人；方案二盈 \( 0 \)；分配差 \( 2 \)；人数 = \((12 - 0) / 2 = 6\)？不对，应该等于 \( 24 \)。
最终醒悟： 盈亏公式 (盈-盈)/分差 或 (亏-亏)/分差，结果直接就是“被分配者（人）的数量”。这里我们算出来的 \( (12-0)/2 = 6 \)，单位是“人”吗？不！我们代进去的“亏12”是“12个人”的缺口吗？是。分配差“2”是“2人/间”。那么结果 \( 6 \) 的单位是 人 ÷ (人/间) = 间！它直接就是宿舍的间数！公式万能！
9. 正确应用公式：
被分配对象：学生。
第一次（每间6人）：亏 \( 12 \) 人（大亏）。
第二次（每间4人）：亏 \( 0 \) 人（小亏）。
分配差：\( 6 - 4 = 2 \) 人/间。
宿舍间数 = (大亏 - 小亏) ÷ 分配差 = \((12 - 0) ÷ 2 = 6\)（间）。
答：一共有 \( 6 \) 间宿舍。
【拔高例题】阿星买了一批练习本，计划分给学习小组。如果每个小组分 \( 10 \) 本，那么最后一个小组只能分到 \( 4 \) 本（即缺 \( 6 \) 本）；如果每个小组分 \( 8 \) 本，那么还会多出 \( 12 \) 本。请问有多少个小组？多少本练习本？
思维迁移：
这题换了“马甲”：不是直接说“盈”或“亏”，而是“最后一个小组少 \( 6 \) 本”。
1. 翻译成标准盈亏语言：
“每个小组分 \( 10 \) 本，最后一个小组只能分到 \( 4 \) 本”。这意味着，如果按计划每组分 \( 10 \) 本，总本子数不够，缺了 \( 10 - 4 = 6 \) 本。所以这是“亏 \( 6 \) 本”。
“每个小组分 \( 8 \) 本，还会多出 \( 12 \) 本”。这就是标准的“盈 \( 12 \) 本”。
2. 判断类型： 一次亏 \( 6 \)，一次盈 \( 12 \)。偏差方向相反（一个不够，一个多），这不是“双盈双亏”，而是“一盈一亏”！需要用另一个公式：(盈 + 亏) ÷ 分配差 = 份数。但今天我们专注“同向偏差”，这题是干扰项，特意用来让你辨别！
3. 但是，题目问的确实是小组数。 我们用一盈一亏公式来解：小组数 = (盈 + 亏) ÷ 分配差 = \((12 + 6) ÷ (10 - 8) = 18 ÷ 2 = 9\)（个）。
4. 求本子数： 用任一方案算。方案二：\( 8 \times 9 + 12 = 72 + 12 = 84 \)（本）。
答：有 \( 9 \) 个小组，\( 84 \) 本练习本。
阿星点睛： 不是所有分配问题都用同一个公式！第一步永远是判断“盈亏方向”是否相同。 方向相同（都多或都少），用今天学的“差值公式”；方向相反（一多一少），用“和值公式”。
📝 阿星必背口诀：
双盈双亏好兄弟，同向偏差是特征。
大减小，得差量，除以每份分配差，
结果就是份数（人数）到！
🚀 举一反三：变式挑战
军训发水瓶。如果每人发 \( 2 \) 瓶，最后会剩下 \( 30 \) 瓶；如果每人发 \( 4 \) 瓶，最后会剩下 \( 10 \) 瓶。有多少名学生？
一个“双亏”问题中，已知每人分 \( 9 \) 个物品缺 \( 15 \) 个，每人分 \( 7 \) 个物品缺 \( 3 \) 个。你能求出物品总数吗？试试看。
用一条绳子测井深。把绳子三折来量（即折成三等份去量），井外余 \( 4 \) 米；把绳子四折来量，井外余 \( 1 \) 米。井深和绳长各是多少？
（提示：把“井深”看作“人数”，把“每折长度”看作“每人分配量”，把“井外余绳”看作“盈”）
解析与答案
【详尽解析】
变式一解析： 典型的“双盈”。人数 = \((大盈 - 小盈) ÷ 分配差 = (30 - 10) ÷ (4 - 2) = 20 ÷ 2 = 10\)（人）。
变式二解析： 典型的“双亏”。先求份数（人数）：份数 = \((大亏 - 小亏) ÷ 分配差 = (15 - 3) ÷ (9 - 7) = 12 ÷ 2 = 6\)（人）。再求物品总数：\( 9 \times 6 - 15 = 54 - 15 = 39 \) 个，或 \( 7 \times 6 - 3 = 42 - 3 = 39 \) 个。
变式三解析： 这是一个经典的“双盈”变形题。
- 转化： 把“井深”想象成我们要找的“固定人数”。第一次（三折），每折（即每人分到的长度）是 \( \frac{绳长}{3} \)，井外余 \( 4 \) 米，意味着“盈 \( 4 \) 米”。注意！这 \( 4 \) 米是一折余出来的，不是总绳长余的。
- 同理，第二次（四折），每折长度 \( \frac{绳长}{4} \)，井外余 \( 1 \) 米，即“盈 \( 1 \) 米”。
- 列式（用井深不变）： 井深 = 每折长度 - 井外余长。所以：
第一次：井深 = \( \frac{绳长}{3} - 4 \)
第二次：井深 = \( \frac{绳长}{4} - 1 \)
两者相等：\( \frac{绳长}{3} - 4 = \frac{绳长}{4} - 1 \)
解方程：两边乘以12：\( 4 \times 绳长 - 48 = 3 \times 绳长 - 12 \) → \( 绳长 = 36 \)（米）。
则井深 = \( \frac{36}{3} - 4 = 12 - 4 = 8 \)（米），或 \( \frac{36}{4} - 1 = 9 - 1 = 8 \)（米）。
- 用盈亏思想验证： 把“每折长度”看作“分配标准”，第一次分 \( \frac{1}{3} \) 绳长/人，盈 \( 4 \) 米；第二次分 \( \frac{1}{4} \) 绳长/人，盈 \( 1 \) 米。求“人数”（即井深）。
井深 = (大盈 - 小盈) ÷ 分配差 = \((4 - 1) ÷ (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 3 ÷ (\frac{1}{12}) = 3 \times 12 = 36\)？等等，这 \( 36 \) 的单位是“米”啊！它应该是“井深”吗？不，我们又遇到了和进阶例题类似的单位问题。我们计算的是：米 ÷ (1/米) = 米²？逻辑混乱了。这说明，当“分配差”是分数（比率）时，直接套用容易出错。对于这类题，最稳妥的方法是设绳长为 \( x \)，用“井深相等”来列方程，如上所示。
答：井深 \( 8 \) 米，绳长 \( 36 \) 米。
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