糖果怎么分？车子怎么坐？3步搞定“盈亏问题”！零基础必看深度指南：典型例题精讲

阿星拆解：

第一步：识别“盈”和“亏”
第一次：每人 \(5\) 颗，多 \(18\) 颗 → 这是“盈”，记作 \(+18\)。
第二次：每人 \(7\) 颗，\(6\) 人分不到。注意！“分不到”意味着糖果少了 \(6 \times 7 = 42\) 颗才够发 → 这是“亏”，记作 \(-42\)（或直接记亏 \(42\)）。

第二步：计算“两次分配差”
第二次每人比第一次多分：\(7 - 5 = 2\) 颗。

第三步：套入核心公式求人数
公式：(盈 + 亏) ÷ 分配差 = 人数
这里，盈是 \(18\)，亏是 \(42\)（注意是相加，不是相减！）。
所以，小朋友人数 = \((18 + 42) \div (7 - 5) = 60 \div 2 = 30\)（人）。

第四步（可选）：验算糖果总数
按第一次算：\(30 \times 5 + 18 = 150 + 18 = 168\) 颗。
按第二次算：够分给 \(30 - 6 = 24\) 人，\(24 \times 7 = 168\) 颗。总数一致，✓。

阿星敲黑板：

这题的陷阱在于对“盈”和“亏”的量化！它们不会直接告诉你“多出几人”或“缺几人”，需要你转个弯算出来。

第一步：转化条件，明确盈亏数
情况一（每间8人）：有一间只住 \(4\) 人。这间房本来应该住 \(8\) 人，现在只住了 \(4\) 人，相当于空出了 \(8 - 4 = 4\) 个床位。对于“住满”这个目标来说，这是“亏”（人数不足），亏 \(4\) 人。
情况二（每间10人）：空出 \(2\) 间房。这 \(2\) 间房如果住满，能住 \(2 \times 10 = 20\) 人。现在没人住，对于“住满”来说，这是更严重的“亏”，亏 \(20\) 人。

第二步：计算分配差
第二次每间比第一次多住：\(10 - 8 = 2\) 人。

第三步：套公式求房间数
注意，两次都是“亏”！我们的公式 (盈+亏) ÷ 分配差 依然成立，可以把“亏”都看作正数代入。
房间数 = \((4 + 20) \div (10 - 8) = 24 \div 2 = 12\)（间）。

第四步：求学生总数
用第一种情况算：\(11\) 间住满（每间8人），\(1\) 间住 \(4\) 人。
总数 = \(11 \times 8 + 4 = 88 + 4 = 92\)（人）。
用第二种情况验证：住满 \(12 - 2 = 10\) 间，每间10人，\(10 \times 10 = 100\) 人？不对！ 等等，这里错了！我们得重新审视。

阿星紧急修正： 空出2间房，意味着学生只住了 \(12 - 2 = 10\) 间房。每间住10人，所以学生总数是 \(10 \times 10 = 100\) 人。这和我们刚才用第一种情况算出的92人不一致，说明我们第三步的盈亏数理解有误。

重新分析第一步：
关键在于，学生总人数是固定的。
情况一：房间数固定为 \(间\)。如果每间住8人，会“多出”一些床位吗？不，它说“有一间只住了4人”，这意味着所有房间都分配了，但最后一间没住满。我们可以理解为：如果每间都住满8人，那么总人数会比实际人数多 \( (8-4)=4 \) 人。也就是“假设住满”会多4人，即“盈” \(4\)。换个角度：实际人数 = \(8 \times (间数 - 1) + 4\)。
情况二：如果每间住10人，会空出2间。这意味着：如果每间都住满10人，那么总人数会比实际人数少 \( 2 \times 10 = 20 \) 人。也就是“假设住满”会少20人，即“亏” \(20\)。实际人数 = \(10 \times (间数 - 2)\)。

所以，正确的盈亏关系是：第一次盈 \(4\)，第二次亏 \(20\)。

重新计算第三步：
房间数 = \((盈 + 亏) \div 分配差 = (4 + 20) \div (10 - 8) = 24 \div 2 = 12\)（间）。✓

重新计算第四步：
学生总数 = \(10 \times (12 - 2) = 10 \times 10 = 100\)（人）。
或用第一种情况验证：\(8 \times (12 - 1) + 4 = 8 \times 11 + 4 = 88 + 4 = 92\)（人）？还是不一致！

阿星陷入沉思…… 问题出在哪里？哦！我明白了！在“情况一”中，“有一间只住4人”这个描述，意味着这间房也被占用了。所以，当从“每人8人”的标准看时，这间房少了4人，对于总人数来说是“亏4人”。而在“情况二”中，“空出2间”意味着有2间房完全没人，对于“每间10人”的标准，这2间房亏了20人。

但这里有一个根本性的矛盾：如果实际人数固定，那么用两种标准计算出的实际人数必须相等。
设房间数为 \(x\)。
实际人数 = \(8(x - 1) + 4 = 8x - 4\) （情况一）
实际人数 = \(10(x - 2) = 10x - 20\) （情况二）
因此，\(8x - 4 = 10x - 20\)
解得 \(2x = 16\)，\(x = 8\)（间）。

所以，直接用方程思想会更清晰。而我们用盈亏公式时，必须确保比较的是同一批人，在同一种分配方案下，相对于“标准住满”的偏差。

让我们用盈亏公式再严格走一遍：
把“房间”看成要分配的“物体”，把“学生”看成要分的东西。但这样想有点绕。更标准的方法是固定“被分配的对象”（学生），看“每人得到的房间面积”（但这不直观）。

其实，最稳妥的方法是把“盈亏”理解为“学生人数相对于‘满员标准’的差值”。
标准一（每间8人满员）：需要学生 \(8x\) 人。但实际上，因为一间只住4人，所以实际学生比这个标准少 \(8 - 4 = 4\) 人。即：实际人数 = \(8x - 4\)。相对于“满员标准8人/间”，这是“亏4人”。
标准二（每间10人满员）：需要学生 \(10x\) 人。但实际上，空2间，只住了 \(10(x-2)\) 人。所以实际学生比这个标准少 \(10 \times 2 = 20\) 人。即：实际人数 = \(10x - 20\)。相对于“满员标准10人/间”，这是“亏20人”。

我们发现，两次都是“亏”，这属于“两亏”问题，公式是 (大亏 - 小亏) ÷ 分配差。但我们的核心公式(盈+亏)其实是针对“一盈一亏”的。为了让公式通用，我们可以把“亏”看作负的“盈”。那么：
第一次相对于其标准“亏4人”，可记为“盈 -4”。
第二次相对于其标准“亏20人”，可记为“盈 -20”。
代入公式：(盈1 + 盈2) ÷ 分配差 = (-4 + (-20)) ÷ (10-8) = (-24) ÷ 2 = -12？这显然不对。

所以，“一盈一亏”模型的公式不能直接用于“两亏”。对于“两亏”，正确公式是：(大亏 - 小亏) ÷ 分配差。这里大亏是20，小亏是4。
房间数 = \((20 - 4) \div (10 - 8) = 16 \div 2 = 8\)（间）。
学生数 = \(8 \times 8 - 4 = 64 - 4 = 60\)（人），或 \(10 \times (8-2) = 10 \times 6 = 60\)（人）。✓

总结陷阱： 1. 要准确将文字转化为“盈”或“亏”的具体数值。2. 要判断模型是“一盈一亏”还是“两盈”或“两亏”，它们公式有细微差别。本题是“两亏”模型。

思维迁移：

看，场景变成了租车！但内核还是“分东西”——把人“分”到车里。核心关系依然是：总人数不变，车的数量（可变的）？等等，仔细读题。

“空出一辆车”意味着车的数量也是可以变化的？不对，车的总数是固定的，是“原计划租”的那个数量。我们设原计划租车 \(x\) 辆。

第一步：转化条件，识别盈亏（以“总人数”为基准）
方案一（每车15人）：用了 \(x\) 辆车，但还多 \(10\) 人。这意味着，如果按每车15人坐满 \(x\) 辆车，总人数会比实际少10人？不，是实际人数比“15人/车×x辆”这个容量要多10人。所以，相对于“方案一的容量”，实际人数多出10人 → 盈 \(10\)。实际人数 = \(15x + 10\)。
方案二（每车20人）：坐满了 \(x-1\) 辆车（因为空出一辆）。这意味着，实际人数刚好等于 \(20 \times (x-1)\)。那么，相对于“方案二的容量（20人/车×x辆）”，实际人数少了 \(20 \times 1 = 20\) 人 → 亏 \(20\)。实际人数 = \(20x - 20\)。

看！我们把“车的使用情况”转化成了关于“总人数”的盈亏表述。现在，问题完美契合了我们的“一盈一亏”模型。

第二步：套用核心公式求“份数”（这里是车的数量x）
盈 = \(10\)，亏 = \(20\)，分配差 = \(20 - 15 = 5\)（人/车）。
原计划租车数 \(x = (盈 + 亏) \div 分配差 = (10 + 20) \div 5 = 30 \div 5 = 6\)（辆）。

第三步：求总人数
代入任一方案：\(15 \times 6 + 10 = 90 + 10 = 100\)（人）。或用方案二：\(20 \times (6-1) = 20 \times 5 = 100\)（人）。✓

虽然场景从“分糖果”变成了“派车”，但只要我们抓住“固定的是什么”（总人数），以及“变化的是什么”（每车坐的人数及用车数量带来的容量变化），就能精准地量化“盈”和“亏”，然后套用万变不离其宗的模型。