初三数学易错：概率的计算专项复习与题型解析：典型例题精讲
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-24
💡 阿星精讲：易错：概率的计算 原理
- 核心概念：计算概率就像“摸球游戏”，所有可能性（分母）就是球的总数。“放回”就像你摸出一个球，看了一眼又扔回袋子，袋子里球的总数没变，下次摸球所有可能性跟第一次一模一样。“不放回”就像你摸出一个球后就揣自己兜里了，袋子里球的总数就少了一个，下次摸球的所有可能性就变了！这就是为什么树状图画对，分母错了也白搭——图画对了路径，但你数“所有可能结果”时，如果总数（分母）数错了，整道题就全错了。
- 阿星口诀：
摸球游戏要分清，放回不放回定乾坤。
放回袋子总数稳，不放回就少一人。
树图画对别高兴，分母数对才是真！ - 公式推导：
对于一个随机事件 \( A \)，其概率 \( P(A) \) 定义为：
$$ P(A) = \frac{\text{事件A包含的所有可能结果数}}{\text{所有可能发生的结果总数}} $$
在“放回”的多次试验中，每次试验的所有可能发生的结果总数保持不变。
在“不放回”的多次试验中，每次试验后，所有可能发生的结果总数会减少。计算时，分母必须对应每一步的实际情况。
📐 图形解析（易错：概率的计算 可视化）
【通用模型图说明：上图展示了从含有3个不同颜色小球（设为红R、蓝B、绿G）的袋子中，连续摸两次球的所有可能情况。左子树状图代表“放回”情形：第一次摸球有3种可能，摸完后球放回，第二次摸球仍有3种可能，总结果数为 \( 3 \times 3 = 9 \)。右子树状图代表“不放回”情形：第一次摸球有3种可能，摸完后球不放回，第二次摸球时袋子只剩2个球，因此只有2种可能，总结果数为 \( 3 \times 2 = 6 \)。】
如图所示，设袋中初始球的总数为 \( n \)。关键在于理解每一步的样本空间（即分母）。在“放回”模型中，每一步的样本空间大小恒为 \( n \)。在“不放回”模型中，完成第 \( k \) 次抽取后，样本空间大小变为 \( n - k \)。图形清晰揭示了两种情形下“所有可能结果总数”的根本差异。
⚠️ 易错警示：星火避坑指南
- ❌ 典型错误：题目是“不放回”连摸两次，学生画对了树状图的分支结构，但在计算概率时，分母却错误地用了第一次的总数 \( n \) 的平方（即按“放回”算总情况数）。例如，3个球不放回摸两次，误以为总共有 \( 3 \times 3 = 9 \) 种等可能结果。
- ✅ 阿星纠正：这是典型的“只见分支，不见总数”错误。树状图的每一层分支数量代表该步的“选择数”，但总结果数是各层选择数的乘积。“不放回”导致第二步的选择数减少，总结果数自然也减少。记住：“球离袋，总数减；分母跟着步骤变。”
🔥 经典题型：三例精讲
例题 1：基础巩固
题目：一个不透明袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外都相同。小明从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀后再随机摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。
📌 阿星解析：
- 第一步：判断类型。明确“摸出一个球，放回”，这是放回试验。每次摸球，袋中都是3个球。
- 第二步：确定分母（总结果数）。第一次有3种可能，放回后第二次仍有3种可能，总结果数为 \( 3 \times 3 = 9 \)。
- 第三步：确定分子（事件结果数）。两次都是红球。第一次摸到红球有2种可能（红1或红2），放回后第二次摸到红球也有2种可能。所以有利结果数为 \( 2 \times 2 = 4 \)。
- 第四步：计算概率。 \( P = \frac{4}{9} \)。
✅ 答案： \( \frac{4}{9} \)
例题 2：概念辨析
题目：接上题，若小明随机摸出一个球，不放回，再从袋中余下的球里随机摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。
📌 阿星解析：
- 第一步：判断类型。明确“摸出一个球，不放回”，这是不放回试验。第二次摸球时，袋中只剩2个球。
- 第二步：确定分母（总结果数）。第一次有3种可能，不放回，第二次只有2种可能，总结果数为 \( 3 \times 2 = 6 \)。
- 第三步：确定分子（事件结果数）。两次都是红球。第一次从2红1白中摸到红球，有2种可能；摸走一个红球后不放回，袋中剩1红1白，第二次再摸到红球只有1种可能。所以有利结果数为 \( 2 \times 1 = 2 \)。
- 第四步：计算概率。 \( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)。
✅ 答案： \( \frac{1}{3} \)
例题 3：综合应用
题目：从编号为1, 2, 3的3张卡片中不放回地随机抽取两张，其编号之和为奇数的概率是多少？
📌 阿星解析：
- 第一步：判断类型。“不放回”抽取两张，等同于“不放回”连续摸两次。
- 第二步：确定分母（总结果数）。抽第一张有3种可能，不放回，抽第二张有2种可能，总结果数为 \( 3 \times 2 = 6 \)。注意，这里 (1,2) 和 (2,1) 是不同的有序结果，都计入总数。
- 第三步：确定分子（事件结果数）。编号之和为奇数，需要“一奇一偶”。卡片中奇数有1、3，偶数有2。列举所有有利结果：第一张奇，第二张偶：(1,2), (3,2)；第一张偶，第二张奇：(2,1), (2,3)。共4种有利结果。
- 第四步：计算概率。 \( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。
✅ 答案： \( \frac{2}{3} \)
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（5道）
- 袋子有1个红球2个黄球。放回地摸两次，都是黄球的概率？
- 袋子有1个红球2个黄球。不放回地摸两次，都是黄球的概率？
- 从一副去掉大小王的扑克牌（52张）中，放回地抽两次，两次都是红桃的概率？
- 从写有“星”、“火”、“网”的三张卡片中，不放回地抽两张，能抽到“星”和“火”的概率？
- 掷一枚均匀骰子两次，两次点数之和为5的概率？（提示：掷骰子是“放回”）
第二关：奥数挑战（5道）
- 一个袋子有3黑2白共5球。不放回摸三次，求第三次才摸到白球的概率。
- 甲、乙两人从1-5这5个数字中轮流不放回地选数，甲先选。求甲选到奇数且乙选到偶数的概率。
- 从1,2,3,4中不放回取两个数组成两位数，这个两位数是偶数的概率？
- 一个游戏：袋中4红6蓝球。规定：摸到红球得奖并结束；摸到蓝球不得奖且球放回，继续摸。求恰好摸两次得奖的概率。
- （条件概率感知）袋中有2金3银戒指，不放回取两个。已知第一个是金的，求第二个也是金的概率。
第三关：生活应用（5道）
- （AI测试）某AI图像识别模型对“猫”“狗”图片的识别准确率均为90%。现用两张已知是猫的图片放回地让其识别两次。求两次识别结果恰好一次正确一次错误的概率。
- （航天发射）某火箭一个关键部件由A、B两个串联的芯片控制，A、B来自同一批产品，该批次不良品率为5%。工程师从批次中不放回随机抽两个芯片分别装上A、B位。求这个部件因芯片不良而失效（至少一个芯片不良）的概率。
- （网购抽奖）某电商平台“盲盒”活动：总共有100个盒，其中5个有奖。前两名用户各随机买一个盒且不放回（即盒被买走）。求两名用户都中奖的概率。
- （团队协作）项目组有3名程序员（P）和2名设计师（D），需要不放回地随机指派3人组成临时小组。求小组中恰好有2名程序员的概率。
- （交通调度）一个十字路口，东西方向有3辆车排队，南北方向有2辆车排队。信号灯随机不放回地依次让这些车通过（即每次从剩余排队车辆中等可能选一方向放行一辆）。求东西方向的3辆车连续通过的概率。
🤔 专家问答 FAQ
Q：这一章在考卷里通常占多少分？
A：概率计算是中考的必考点，通常以一道解答题的形式出现，分值在6-8分左右。选择题或填空题中也常有1-2题涉及，合计约占8-12分。这部分题目区分度大，“放回”与“不放回”辨析不清是主要的失分点，务必拿下。
Q：学好它对高中有什么帮助？
A：帮助巨大！初中“放回与不放回”是高中古典概型和条件概率的基石。这里的“不放回”抽签，本质上就是高中的“排列组合”应用。现在把“等可能性”、“样本空间变化”这些思想根基打牢，高中学习排列组合、概率章节就会非常顺畅，甚至能一眼看穿许多复杂问题的本质。
参考答案
第一关： 1. \( \frac{4}{9} \) 2. \( \frac{1}{3} \) 3. \( \frac{1}{16} \) 4. \( \frac{1}{3} \) 5. \( \frac{1}{9} \)
第二关： 1. \( \frac{1}{10} \) 2. \( \frac{3}{10} \) 3. \( \frac{5}{6} \) 4. \( \frac{6}{25} \) 5. \( \frac{1}{4} \)
第三关： 1. 0.18 2. \( \frac{97}{495} \approx 0.19596 \) 3. \( \frac{1}{495} \) 4. \( \frac{3}{5} \) 5. \( \frac{1}{10} \)
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF