概率博弈的举一反三深度攻略

💡 阿星精讲：概率博弈 的本质

很多同学认为概率博弈就是比运气，其实大错特错！真正的博弈高手明白：人类无法做到完全随机。每个人在看似随机的选择（如猜拳、出牌）中，都会留下“思维指纹”——一种下意识的模式。比如，刚出过“石头”的人，下一局有更高概率出“布”或“剪刀”。

数学上，我们可以用马尔可夫链来建模这种模式。它描述一个系统从当前状态 \( S_t \) 转移到下一个状态 \( S_{t+1} \) 的概率，只依赖于当前状态，记作 \( P(S_{t+1} | S_t) \)。通过观察对手的历史数据，我们能估算出他的状态转移矩阵 \( \mathbf{P} \)，从而预测他下一步最可能的行为，打破表面上的随机概率平衡，将胜率从50%提升到60%甚至更高！

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题：
1) 转移概率矩阵第一行已求出：\( [0.2, 0.5, 0.3] \)。
2) 小明应出石头。

变式一：
由频率比 \( 1:3:6 \) 得，踢向 L, C, R 的概率分别为 \( 0.1 \), \( 0.3 \), \( 0.6 \)。最可能踢向 R（概率 \( 0.6 \)）。为赢射手（即扑出球），守门员应向同一侧扑救（假设扑对方向就能扑出）。因此应重点防守右侧(R)。

变式二：
设状态“正”为1，“反”为2。\( P(1|1) = 0.7 \) 表示在已知上一个为“正”的条件下，下一个为“正”的概率。设序列中“正”的总次数为 \( N_1 \)，“正正”的次数为 \( C_{11} \)。由大数定律，\( P(1|1) \approx \frac{C_{11}}{N_1 - 1} \)（减1是因为最后一个“正”后无状态）。代入 \( C_{11} = 35 \)，\( P(1|1)=0.7 \)，得 \( 0.7 \approx \frac{35}{N_1 - 1} \)。解得 \( N_1 - 1 \approx 50 \)，故 \( N_1 \approx 51 \)。

变式三：
设B的当前状态为 \( j \)，其转移到状态 \( k \) 的概率为 \( P_{jk} \)。若A选择行动 \( i \)，则当B处于状态 \( k \) 时，A的胜率为 \( W_{ik} \)。因此，A选择行动 \( i \) 后的期望胜率为：
\[ E_i = \sum_{k} (P_{jk} \times W_{ik}) \]
计算三种行动 \( i = 1,2,3 \) 对应的 \( E_i \)，选择使 \( E_i \) 最大的行动 \( i \) 即可。这是一个基于预测的决策优化过程。