阿星的显微镜

我们不用死记硬背，用“拆散法”（试除法）来检查：看有没有除了1和它自己以外的数能整除它。

标准步骤：

1. 先看身份：7是奇数，所以它可能是质数（因为2这个偶质数已经被排除）。
2. 开始“拆散”：用比1大，比7小的质数（2, 3, 5）依次去试除。
   • 7 ÷ 2 = 3...1 ❌（不能整除）
   • 7 ÷ 3 = 2...1 ❌
   • 7 ÷ 5 = 1...2 ❌
3. 得出结论：都无法整除，所以7是质数。

思考：为什么试除到5就够了？因为再大的数，商就会小于除数本身了。判断一个数n是否为质数，通常只需试除到√n（平方根）即可。

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：

1. 漏掉2： 一上来就从奇数里找，直接把2忘了。

2. 把1算进去： 认为1也只能被1和自己整除，误以为它是质数。

3. 漏掉“跨界者”： 记住了2，但在找的时候，看到偶数（比如4,6,8...）就直接跳过，这个习惯是对的，但唯独要对“2”开绿灯！

图解陷阱：如果只在“奇数大家族”那个蓝色圈里数质数，你就会丢掉圈外那个最闪亮的红色方块“2”。

正确思路：

第一步：锁定“跨界明星” —— 先写上 2。

第二步：在奇数中筛查 —— 从3开始的奇数：3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49。

第三步：用“拆散法”过滤掉合数（如9=3×3, 15=3×5, 21=3×7, 25=5×5, 27=3×9, 33=3×11, 35=5×7, 39=3×13, 45=5×9, 49=7×7）。

最终得到50以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47。共15个。

思维迁移：这道题把质数判断和数字特征结合起来了。

1. 应用核心隐喻：两位质数，个位能是偶数吗？如果个位是偶数（0,2,4,6,8），那这个两位数就是偶数（除了2开头的）。但两位数的偶数只有2是质数，而20多、40多等显然不是质数。所以个位不能是0,4,6,8。个位是2呢？那这个数就是像12, 32, 52… 它们都能被2整除，不是质数（除了2本身，但2不是两位数）。所以个位也不能是2。结论：两位质数的个位只能是1, 3, 7, 9（奇数）。
2. 加入新条件（数字交换）：这个两位数的个位和十位交换后还得是质数。那么，它的十位数字也必须是1, 3, 7, 9中的一个，因为交换后它变成了个位。
3. 列举与判断：从符合条件的组合中找出质数：
   • 以1,3,7,9为十位和个位进行组合，如13和31，17和71，37和73，79和97。
   • 检查它们是否都是质数：13✓, 31✓；17✓, 71✓；37✓, 73✓；79✓, 97✓。
   • 注意像11这样交换后是本身，也符合条件，但11是质数吗？是的！所以也要算上。同理33、77、99？不，33、77、99明显是合数。

答案：所有这样的数是 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97。