别再死记硬背！用“孤勇者”思维，10分钟彻底搞懂质数与合数 | 零基础必看：典型例题精讲

阿星拆解：

第一步：题目问 \( 23 \)，它大于1吗？大于。所以它不是数字1，我们需要判断它是“孤勇者”（质数）还是“团队型”（合数）。

第二步：怎么判断？看它有没有除了1和23以外的因数。我们从小到大用质数去试除（因为如果合数能整除它，那个合数的质因数也一定能整除它）。

第三步：试除开始。我们已知100以内的质数，从小的开始：

• 除以 \( 2 \)：\( 23 \div 2 = 11.5\)，不能整除。
• 除以 \( 3 \)：\( 23 \div 3 \approx 7.666...\)，不能整除。
• 除以 \( 5 \)：个位不是0或5，直接判断不能整除。
• 除以 \( 7 \)：\( 23 \div 7 \approx 3.285...\)，不能整除。

第四步：试到什么时候结束？有一个诀窍：试到比 \( \sqrt{23} \) 大的最小质数为止。\( \sqrt{23} \approx 4.8 \)，所以我们试到 \( 7 \) 已经足够了（7 > 4.8）。

第五步：结论。在试除范围内（2到7），没有任何一个质数能整除 \( 23 \)。所以，\( 23 \) 是一个“孤勇者”，它是一个质数。

阿星敲黑板：

陷阱就在这里！\( 91 \) 这个数，看起来不像偶数，也不是5的倍数，加起来的数字和 \( 9+1=10 \) 也不是3的倍数。很多人会想当然地以为它是质数，然后试除到7觉得不行就下结论了。但千万不要！ 必须严格按照我们试除的范围来。

第一步：\( 91 \) 大于1，进入判断流程。

第二步：确定试除范围。\( \sqrt{91} \approx 9.54 \)。我们需要用小于等于 \( 9.54 \) 的质数去试除，也就是 \( 2, 3, 5, 7 \)。

第三步：严格试除。

• 除以 \( 2 \)：奇数，否。
• 除以 \( 3 \)：\( 9+1=10 \)，10不能被3整除，否。
• 除以 \( 5 \)：个位不是0或5，否。
• 除以 \( 7 \) ：关键来了！ \( 91 \div 7 = 13 \) ！正好整除，没有余数！

第四步：结论。因为找到了 \( 7 \) 这个“第三者”因数（而且 \( 13 \) 也是它的因数），所以 \( 91 \) 不是“孤勇者”，它是一个“团队型”数字，即合数（\( 91 = 7 \times 13 \)）。

敲黑板重点： 判断质数必须试除到其平方根附近的质数，不能偷懒凭感觉！91就是经典的“质数陷阱”。

思维迁移：

这道题换了个马甲，不再问“是不是”，而是问“怎么拆”。但它的核心原型依然是我们的基础概念：合数是由质数相乘“组建”起来的团队。这个过程叫做“质因数分解”。

第一步：确认 \( 60 \) 是合数（显然，它是偶数，能被2整除）。我们的任务就是把60这个“团队”，拆解成最基本的“孤勇者”（质数）成员。

第二步：从最小的质数 \( 2 \) 开始，不断分解：

• \( 60 \div 2 = 30 \) … 记录因数 \( 2 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \) … 再记录一个因数 \( 2 \)
• 现在得到 \( 15 \)，不能被2整除了，换下一个质数 \( 3 \)：
• \( 15 \div 3 = 5 \) … 记录因数 \( 3 \)
• 现在得到 \( 5 \)，它本身已经是质数（孤勇者）了。

第三步：把所有的“孤勇者”乘起来。所以，\( 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)。

第四步：我们通常用指数形式简洁表示：\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)。

迁移心得： 无论题目是判断、还是分解，核心都是抓住质数“不可再分”、合数“由质数构成”的本质。分解只是把这个构成过程反向展示出来。