将军饮马问题详解：一招“对称法”解决河边最短路径（含动态图解） | 小学数学思维：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
最短路径（河边）问题深度解题指南
想象一下，你要从A点出发，到一条笔直的河边打水，然后送到B点。怎么走距离最短？这个问题困扰了许多同学。今天，我们将化身古代将军，用一把“对称之剑”，切开所有迷雾。
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
核心隐喻：将军饮马。一位将军驻扎在A地，他的营地B在河的另一边（同一侧）。他每天要去河边饮马，然后返回营地。将军很忙，他问：“我该在河边的哪一点饮马，才能让我每天走的路程最短？”
阿星钥匙：做对称点，连直线。我们无法直接连接A和B，因为路线必须“触碰”到河边这条线。聪明的做法是：把河当成一面镜子，把A点“对称”地映射到河的对岸去，得到一个“虚像”A‘。这时，连接这个“虚像”A‘和真实的营地B。这条直线会像光束一样，必然穿过“镜子”（河），这个穿墙点P，就是将军应该饮马的地方！因为对于将军来说，他从A到P再到B的路程，正好等于“虚像”A‘直接到B的路程（AP = A‘P）。两点之间，线段最短，所以这条路是最短的。
👀 看图说话：“镜子”与“虚像”的神奇作用
关键点拨：动画展示了“化折为直”的魔法。关键是创造对称点A‘，它就像在河对岸为将军造了一个“分身”。连接A‘B，这条直线与河的交点P，是唯一能使“分身A‘”到B的直线路径经过河的点，从而保证了真实路径APB最短。这个看不见的“分身”A’点，是解题的隐形钥匙。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】将军在A点，营地B点，都在河的同侧。A到河的垂直距离是1米，B到河的垂直距离也是1米。A、B在平行于河的方向上相距4米。请问最短路径是多少米？
阿星的显微镜（画图验证）：
我们把图画在纸上（或脑海里）。建立坐标系：假设河是横轴(y=0)，A在(0,1)，B在(4,1)。
河: ———————————————— y=0
A(0,1) B(4,1)
·--------------------·
1. 做A关于河（x轴）的对称点A‘：(0, -1)。
2. 连接A‘B。A‘坐标(0,-1)，B坐标(4,1)。
3. 根据两点间距离公式，A‘B的长度就是最短路径的长度。
标准算式：\( A'B = \sqrt{(4-0)^2 + (1-(-1))^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \) (米)
【易错陷阱】如果其他条件不变，但营地B在河的对岸（即A、B在河的两侧），最短路径又是多少？很多人会继续机械地“做对称，连直线”。
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：依然做A关于河的对称点A‘，然后连接A‘B求长度。
图解陷阱：当A、B在河的两侧时，连接A和B本身的线段就已经和河相交了！这个交点就是饮马点P。因为直接从A走到B已经包含了“去河边”这个动作，路径就是线段AB本身，再做对称就是画蛇添足。
正确思路：两点分居河两侧，直接连接AB，线段AB的长度即为最短路径。饮马点P就是AB与河的交点（垂足）。核心在于判断两点是否在直线的同一侧。
【高手进阶】如图，一个快递小哥在A点（公司），他要去马路对面的快递柜（C点）取一个包裹，然后送到位于马路同侧（公司这一侧）的客户家B点。请问，他在马路上哪个位置过马路，能使总路程（A→马路上某点→C→B）最短？
思维迁移：这其实是“两次饮马”或“桥选址”问题的变形。核心步骤是：1. 将起点A和目标点B“搬”到马路的同一侧。但因为固定要去C点（快递柜），所以问题可以分解或转化为：找一个过马路的点P，使AP+PC+PB最短。由于PC是必经之路，我们只需让AP+PB最短。这时，马路就是“河”，A和B在“河”同侧，C在“对岸”。巧妙转化：问题等价于求A到B的最短路径，但必须经过河对岸的C点。这可以通过做对称，将A点对称到A‘（河对岸），然后连接A’C并延长，与河的交点…等等，这需要更灵活的对称组合。本题旨在引导你识别“同一侧/不同侧”和“固定点”对模型的影响。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
河边最短路径题，将军饮马是原型。
同侧对称连直线，穿河之点即所求。
异侧直接连线段，无需对称更简单。
“化折为直”是根本，两点之间线段短！
🚀 举一反三：巩固练习
如图，A、B两村位于小河L的同侧。现要在河边建一个水泵站P，分别向两村输水。若要使铺设的水管总长度AP+PB最短，请在图中确定水泵站P的位置（保留作图痕迹），并说明理由。
（陷阱识别）已知直线L同侧有两点A、B。求作一点P在直线L上，使PA+PB最小。小明的作法：连接AB，作线段AB的垂直平分线与L交于点P。他的作法对吗？为什么？
（生活应用）小华家在A处，他每天要去河边的足球场（B点）训练。他通常先到河边C处（固定地点）与队友会合，再去球场。请为他设计从家到C点再到球场的最短路径，并在图中标出。
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：作图：作点A关于直线L的对称点A‘，连接A’B交直线L于点P，点P即为所求。理由：两点之间，线段最短。
练习二：不对。线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，但并未保证与直线L的交点能使PA+PB最小。正确作法应是作A关于L的对称点A‘，连接A’B交L于P。
练习三：本题中C点为固定点，因此最短路径就是折线A→C→B。无需另外找点，因为C点已经是“饮马点”。直接连接AC、CB，总长度即为所求。这提醒我们，模型是工具，要看清题目中的固定条件。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF