阿星图解“倒数”：真分数的倒数都大于1吗？

💡 阿星解密：为什么公式长这样？

阿星说：“真分数小于1，倒过来肯定大于1。” 这个“倒过来”像什么？想象一个神奇的跷跷板。

在数学世界里，每个数（0除外）都有一个“镜像伙伴”，它们坐在跷跷板的两端。当原数坐在左边时，它的倒数就坐在右边。它们俩的重量（乘积）永远保持平衡，都是 1。所以，“倒数”就是让一个数“翻个跟头”，分子分母互换位置，它的“大小位置”在数轴上也就镜像翻转了。

👀 看图说话：数的跷跷板

关键点拨：
看图中的跷跷板，中心点是 1。真分数（如 2/3）都坐在 1 的左边，因为它比 1 小。当它“翻跟头”变成倒数（3/2）时，就必然坐到了 1 的右边，所以肯定大于1。这个“镜像关系”的核心就是它们俩相乘永远等于1。这就是那个看不见的“定海神针”。

【母题演示】判断：2/5 的倒数是否大于1？

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阿星的显微镜

1. 识别身份：2/5 是一个真分数（分子2 < 分母5）。

2. 执行“翻转”：倒数 = 5/2。

3. 比较大小：5/2 = 2.5，明显 > 1。

标准算式：\(\frac{2}{5}\) 的倒数是 \(\frac{5}{2}\)，因为 \(\frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = 1\)。且 \(\frac{5}{2} > 1\)。

【易错陷阱】判断：所有分数的倒数都大于它本身吗？

⚠️

阿星的避雷针：

大多数人会怎么错：看到2/3的倒数3/2比它大，就草率地认为“所有分数的倒数都大于原数”。

图解陷阱：在我们的跷跷板图上，如果原数坐在 1 的右边（即它本身就是一个大于1的假分数或整数），比如数字 3，它的倒数 1/3 就会翻到 1 的左边。这时，倒数（1/3）反而小于原数（3）。

正确思路：

- 真分数（<1）的倒数 >1，所以倒数 > 原数。

- 等于1时，倒数就是它自己（1）。

- 大于1的数的倒数 <1，所以倒数 < 原数。

【高手进阶】工程队A单独完成一项工程需要4天，工程队B单独完成需要6天。如果两队合作，他们的“联合工作效率”与各自工作效率的倒数有什么关系？

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思维迁移：

1. 识别模型：把“完成工程的总天数”看作一个“数”，它的倒数就是“每天完成的工程量（工作效率）”。

2. 应用倒数：A队效率是1/4，B队效率是1/6。

3. 合作效率：联合效率是 (1/4 + 1/6) = 5/12。

4. 回到倒数：联合效率的倒数，就是合作需要的总天数：1 ÷ (5/12) = 12/5 = 2.4天。

看，在这个问题里，“天数”和“效率”就是一组倒数关系。理解了这个，就能轻松解决复杂的工程问题！

📝 阿星的定海神针（口诀）：

倒数倒数，镜子里的数；
分子分母，翻个跟头住；
乘积为一，永远平衡住；
真分倒大，大于要记住！

练习一

7/9 的倒数是多少？它大于1吗？

练习二

判断：一个假分数的倒数，一定是一个真分数。（对/错）为什么？

练习三

小明骑自行车从家到学校，去时的速度是每小时15千米，回来时的速度是每小时12千米。请问来回全程的“平均速度”是 (15+12)÷2 吗？为什么？（提示：速度是路程除以时间，想想时间与速度的关系）

【答案速查】

练习一：倒数是9/7，9/7 > 1，所以大于1。因为7/9是真分数。
练习二：错。假分数是大于或等于1的分数。当假分数等于1（如2/2）时，它的倒数还是1，不是真分数。只有当假分数大于1时，它的倒数才是真分数。
练习三：不是(15+12)÷2=13.5千米/时。因为平均速度 = 总路程 ÷ 总时间。设家到学校路程为S，则总时间为 S/15 + S/12。平均速度 = 2S ÷ (S/15 + S/12) = 2 ÷ (1/15 + 1/12) = 2 ÷ (3/20) = 40/3 ≈ 13.33千米/时。这里“单程时间”是“速度”的倒数关系，求平均速度需要用到“调和”的思想。