水池满溢：当数学遇上现实，揭秘“负时间”的真相

💡 阿星起步：水池满溢 的底层逻辑

想象一下，你是一个游泳池的管理员。每天，你有两件主要工作：往池子里加水（进水），和放掉脏水（排水）。

“水池满溢”问题，本质上就是一个“银行账户”的管理问题。我们把水池看作一个“水”的银行账户：
- 进水就像你的收入（工资到账，+钱）。
- 排水就像你的开销（吃饭购物，-钱）。
- 净效率 = 进水效率 - 排水效率，就是你这个账户每分钟的净收入。

那么，边界条件判断来了！如果开销大于收入（净收入为负），你的账户余额（池中水量）会怎样？它只会越来越少，永远也攒不到（满水）目标金额！

这时，如果你死板地用公式算出一个 “负时间”，在现实中意味着什么？它绝不意味着“时光倒流”！它只是一个响亮的警报，在告诉你：“老板（出题人），醒醒！你设定的这个目标（水满）在当前的收支情况下（净效率为负），永远不可能达成！” 所以，我们学这个，就是要学会在动手猛算之前，先做一个理智的“管家”，判断这件事到底有没有可能发生。这就是数学的“边界思维”。

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解析与答案

【详尽解析】

变式一解析：
净效率 = \( 8 - 3 = 5 \) 立方米/小时（为正，可以注满）。
时间 = \( 400 \div 5 = 80 \) 小时。
答案：\( 80 \) 小时。

变式二解析：
设水池总容量为 \( 1 \)。“满水”这个工作，就是再注入 \( \frac{1}{2} \) 池水。
进水效率：\( \frac{1}{6} \) (池/小时)。排水效率：\( \frac{1}{10} \) (池/小时)。
净效率：\( \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \) (池/小时)。
时间 = 工作量 ÷ 净效率 = \( \frac{1}{2} \div \frac{1}{15} = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5 \) 小时。
答案：\( 7.5 \) 小时。

变式三解析：
这就是“牛吃草”模型的翻版！码头容量 = 草地原有草量，卸货 = 草生长，运货 = 牛吃草。
设只卸货效率为 \( x \) 吨/小时，只运货效率为 \( y \) 吨/小时。
根据题意：
只卸货满仓：\( 5000 = 25x \) ⇒ \( x = 200 \) 吨/小时。
只运货清空：\( 5000 = 50y \) ⇒ \( y = 100 \) 吨/小时。
现在从 \( 2000 \) 吨到满仓 \( 5000 \) 吨，需增加 \( 3000 \) 吨。
净效率 = 卸货效率 - 运货效率 = \( 200 - 100 = 100 \) 吨/小时（净增加）。
时间 = \( 3000 \div 100 = 30 \) 小时。
答案：\( 30 \) 小时。