秒懂多边形外角和！用“转一圈”的比喻，360°的秘密全揭晓：典型例题精讲
适用年级
五年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
🚶♂️多边形外角和：为什么“转了一圈”永远是360°？
💡 阿星起步：多边形外角和 的底层逻辑
想象一下，你是个超级认真的快递员，要沿着一个多边形花园的外围走一圈送快递。
从起点A出发，走到第一个拐角B。在B点，你不能直接穿墙，必须转一个弯才能继续沿着边BC走。你转的这个角度，就是你身体转过的角度，数学上就叫这个顶点的外角。
接着你走到C点，又转一个弯（第二个外角），然后D点、E点……直到最后，你走完所有边，稳稳地回到了起点A，并且面朝的方向和出发时一模一样。
你品，你细品：为了能回到原点且方向不变，你在所有拐角处转弯角度的总和，是不是刚好相当于原地转了完整的一圈？
这一圈，就是360°！所以，不管这个多边形是三角形、四边形，还是一百边形，只要你绕着它走完一圈，你总共转过的角度（所有外角之和）永远等于 \( 360^\circ \) 。
这就是多边形外角和的灵魂：“转了一圈，回到原点”。我们学它，就是为了掌握这个“放之四海而皆准”的规律，用它来破解各种几何问题。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】一个十二边形，它的所有外角之和是多少度？
阿星拆解：
1. 题目问的是“所有外角之和”。
2. 立刻启动核心想象：沿着十二边形走一圈。
3. 走一圈回到原点，身体总共转了多少？没错，是完整的一圈，\( 360^\circ \)。
4. 所以，无论它是几边形，外角和都是 \( 360^\circ \) 。
答案： \( 360^\circ \)
【进阶例题】一个正多边形，它的每个外角都是 \( 40^\circ \)。请问它是一个几边形？
阿星敲黑板：
⚠️陷阱提示：这里没有直接给外角和！给的是“每个外角”的度数。很多同学会懵，不知道从哪里下手。
破解心法：紧紧抓住“转了一圈”的总量是 \( 360^\circ \) 不变！
1. 题目说这是一个正多边形，意思是每个外角都相等，都是 \( 40^\circ \)。
2. 想象走一圈：在第一个顶点转 \( 40^\circ \)，第二个顶点转 \( 40^\circ \) …… 转完所有顶点，总共转了 \( 360^\circ \)。
3. 那么，顶点的个数（也就是边数） = 总转弯量 ÷ 每次转弯量。
4. 计算：\( 360^\circ \div 40^\circ = 9 \)。
5. 所以，这个正多边形有9个顶点，也就是一个九边形。
答案： 九边形
【拔高例题】小明绕着一个五边形广场跑步，他在五个拐角处记录了自己转弯的角度（外角），分别是 \( 70^\circ, 80^\circ, x^\circ, 90^\circ, 60^\circ \)。你能帮小明算出那个忘记记录的 \( x \) 是多少度吗？
思维迁移：
看，题目换了个“跑步”的马甲！但只要你识别出“绕着五边形跑一圈”，就戳破了它的伪装。
1. 识别原型：“绕五边形跑步” = “沿多边形走一圈”。五个转弯角就是五个外角。
2. 启动核心规律：转一圈的总和 = \( 360^\circ \)。
3. 建立方程：把五个外角加起来等于 \( 360^\circ \)。
\( 70^\circ + 80^\circ + x^\circ + 90^\circ + 60^\circ = 360^\circ \)
4. 逐步计算：
先算已知角的和：\( 70 + 80 + 90 + 60 = 300 \)。
所以方程变成：\( 300 + x = 360 \)。
最后：\( x = 360 - 300 = 60 \)。
5. 所以，小明忘记记录的那个外角 \( x \) 是 \( 60^\circ \)。
答案： \( x = 60^\circ \)
📝 阿星必背口诀：
外角和，三百六，转个圆圈就足够。
已知边数直接套，要求边数除法凑。
未知角度列方程，总和三百六来救。
🚀 举一反三：变式挑战
一个十五边形的外角和是多少度？
已知一个多边形的外角和是 \( 360^\circ \)，它的一个外角是 \( 24^\circ \)，请问这是一个正多边形吗？为什么？
如图，在四边形ABCD中，延长各边。已知 \( \angle 1 = 75^\circ \)，\( \angle 2 = 85^\circ \)，\( \angle 3 = 100^\circ \)。请问 \( \angle 4 \) 的度数是多少？
(提示：∠1, ∠2, ∠3, ∠4分别是四个顶点的外角吗？)
解析与答案
【详尽解析】
变式一： \( 360^\circ \)。（解析：直接应用“多边形外角和恒等于 \( 360^\circ \) ”的结论，与边数无关。）
变式二： 不一定是正多边形。（解析：外角和是 \( 360^\circ \) 是所有多边形的共性，不能说明它是正多边形。要判断它是正多边形，必须满足每一个外角都相等。题目只给了一个外角的度数，其他外角可能各不相同，只要总和是 \( 360^\circ \) 就行。例如，它可能是一个外角分别为 \( 24^\circ, 100^\circ, 100^\circ, 136^\circ \) 的四边形。）
变式三： \( \angle 4 = 100^\circ \)。（核心提示：题目中的 \( \angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4 \) 正是四边形四个顶点处的外角！所以它们四个的和就是四边形的外角和 \( 360^\circ \)。列式：\( 75^\circ + 85^\circ + 100^\circ + \angle 4 = 360^\circ \)，解得 \( \angle 4 = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ \)。）
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