五年级上学期数学多边形面积公式总结与推导例题训练

💡 阿星精讲：多边形面积公式大全 原理

• 核心概念：同学们好！我是阿星。今天我们不背公式，来认个“图形家族”！在这个家族里，长方形是万物的基础，是家族的“大家长”。正方形是长方形的“乖儿子”（特殊的长方形）。平行四边形是长方形的“变形兄弟”，只是被“压扁”了。而三角形是平行四边形“一切为二”得到的“一半”，梯形则可以看成是两个三角形“拼”成的。所以，只要理解它们之间“剪剪拼拼”的血缘关系，所有面积公式都能自己推导出来，还用得着死记硬背吗？
• 阿星口诀：长方形是地基，压一压成平行。沿高剪开能变形，一切为二得三角。上下底和乘高除，梯形面积也搞定。
• 公式推导：
  1. 长方形：面积 = 每行个数 × 行数，即 $$ S = a \times b $$（\(a\) 为长，\(b\) 为宽）。
  2. 正方形：长和宽相等，是长方形的特例，$$ S = a \times a = a^2 $$。
  3. 平行四边形：通过“割补法”可变形为等底等高的长方形，面积不变。$$ S = a \times h $$（\(a\) 为底，\(h\) 为这条底边上的高）。
  4. 三角形：两个完全一样的三角形能拼成一个等底等高的平行四边形，所以三角形面积是它的一半。$$ S = a \times h \div 2 $$。
  5. 梯形：两个完全一样的梯形能拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底是梯形的（上底+下底），高不变。所以梯形面积是此平行四边形的一半。$$ S = (a + b) \times h \div 2 $$（\(a\) 为上底，\(b\) 为下底）。

📐 图形解析（多边形面积公式大全 可视化）

【如图所示，这是我们“图形家族”的演化图谱。图中我们使用通用符号标注：长方形的长和宽为 \(a\) 和 \(b\)，平行四边形、三角形和梯形的底或上下底分别为 \(a\) 和 \(b\)，它们对应的高都用 \(h\) 表示。】

我们可以从最基础的长方形（图①）出发：

1. 将它“挤压”变形，就得到了底为 \(a\)，高为 \(h\) 的平行四边形（图②）。图形面积没有变，因为总“格子数”没变。
2. 沿着平行四边形的一条对角线（图③中虚线）剪开，得到两个完全相同的三角形（图④）。每个三角形的面积自然是原平行四边形的一半。
3. 将两个完全相同的梯形（一个正放，一个倒放）拼在一起（图⑤），可以组合成一个平行四边形，这个平行四边形的底是梯形的上底加下底 \((a+b)\)，高 \(h\) 不变。因此，一个梯形的面积就是这个大平行四边形面积的一半。

看，一张图，家族关系清清楚楚，公式推导明明白白。

⚠️ 易错警示：星火避坑指南

🔥 经典题型：三例精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（5道）

1. 一个长方形长 \(12\ \text{cm}\)，宽 \(8\ \text{cm}\)，面积是多少？
2. 一个正方形边长是 \(0.6\ \text{m}\)，它的面积是多少平方米？
3. 平行四边形的底是 \(10\ \text{dm}\)，高是 \(7\ \text{dm}\)，求面积。
4. 三角形的底是 \(9\ \text{cm}\)，高是 \(4\ \text{cm}\)，求面积。
5. 梯形的上底 \(3\ \text{m}\)，下底 \(7\ \text{m}\)，高 \(4\ \text{m}\)，求面积。

第二关：奥数挑战（5道）

1. 一个平行四边形，底增加 \(2\ \text{cm}\)，高不变，面积增加 \(8\ \text{cm}^2\)；高增加 \(1\ \text{cm}\)，底不变，面积增加 \(7\ \text{cm}^2\)。求原平行四边形的面积。
2. 如右图，在梯形ABCD中，三角形ABO和三角形DOC的面积分别是 \(6\ \text{cm}^2\) 和 \(12\ \text{cm}^2\)，求梯形ABCD的面积。（提示：思考三角形家族中“等底等高”的规律）
3. 一个直角三角形的三条边分别是 \(6\ \text{cm}\), \(8\ \text{cm}\), \(10\ \text{cm}\)。求斜边 \(10\ \text{cm}\) 边上的高。
4. 一个梯形，如果上底增加 \(3\ \text{cm}\)，它就变成了一个正方形，面积增加 \(15\ \text{cm}^2\)。求原梯形的面积。
5. 下图中，正方形ABCD的边长是 \(8\ \text{cm}\)，三角形EFG（阴影部分）的各顶点都是边的中点。求阴影部分的面积。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI场景） 一个AI机器人需要用摄像头扫描识别一块长方形区域的物体。已知该区域面积是 \(4800\ \text{px}^2\)（像素平方），长是 \(80\ \text{px}\)，那么宽需要设置多少像素？
2. （航天场景） 某卫星太阳能帆板展开后是一个近似的梯形。上底 \(2\ \text{m}\)，下底 \(4\ \text{m}\)，高 \(3\ \text{m}\)。如果每平方米帆板每分钟能吸收 \(200\ \text{焦耳}\) 太阳能，这块帆板一分钟总共能吸收多少能量？
3. （网购场景） 淘淘想给一张平行四边形的桌面贴膜。桌面底边长 \(1.5\ \text{m}\)，对应的高是 \(0.8\ \text{m}\)。如果贴膜每平方米价格是 \(25\) 元，贴满这张桌面需要多少钱？
4. （工程场景） 一个施工队要粉刷一面三角形的山墙。山墙的底边长 \(12\ \text{m}\)，高 \(4.5\ \text{m}\)。每平方米需要涂料 \(0.8\ \text{kg}\)，粉刷这面山墙（单面）至少需要准备多少千克涂料？
5. （设计场景） 设计师将一块正方形布料（边长 \(1\ \text{m}\)）沿对角线剪开，得到两个完全相同的三角形。她想用其中一个三角形制作旗子，这个三角形旗子的面积是多少平方分米？

🤔 专家问答 FAQ

参考答案

第一关： 1. \(96\ \text{cm}^2\) 2. \(0.36\ \text{m}^2\) 3. \(70\ \text{dm}^2\) 4. \(18\ \text{cm}^2\) 5. \(20\ \text{m}^2\)
第二关： 1. \(28\ \text{cm}^2\) 2. \(27\ \text{cm}^2\)（提示：△ABO与△DOC面积比为底的比，且△ABC与△DBC等底等高）3. \(4.8\ \text{cm}\) 4. \(35\ \text{cm}^2\) 5. \(16\ \text{cm}^2\)
第三关： 1. \(60\ \text{px}\) 2. \(1800\ \text{焦耳}\) 3. \(30\ \text{元}\) 4. \(43.2\ \text{kg}\) 5. \(50\ \text{dm}^2\)