多边形内角和公式图解秘诀：切成三角形，一看就懂！(n-2)×180°不再难：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
🔺 一刀切开谜底：多边形内角和深度指南
孩子一看到“(n-2)×180°”就头疼？别怕！今天我们不背公式，我们用“切蛋糕”的方法，把多边形变成一堆三角形，让答案自己跳出来。
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象你有一个多边形的蛋糕（比如五边形）。你的任务很简单：只从一个顶点出发，用刀把它切成一个个小三角形，并且不能切出多余的边。
你会发现：第一刀，分成了2个三角形。之后每多切一刀（也就是多一条邻边），就多出一个三角形。但是，你永远不能切向与你相邻的那两个顶点，因为那会切出不是三角形的图形。
👀 看图说话：从四边形到七边形
关键点拨：注意看动画里，我们是从同一个顶点出发，向所有其他不相邻的顶点画线（切蛋糕）。对于一个n边形，这个顶点自己连着2条边，所以它能切向的目标顶点有 n - 3 个。加上第一刀，总共就切了 (n - 3) + 1 = n - 2 刀，得到了 n - 2 个三角形。每个三角形内角和是180°，所以公式就是(n-2)×180°。看，那个“-2”就是被你排除掉的两个相邻顶点，它们是“隐形的边界”！
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一个五边形的内角和是多少度？
阿星的显微镜（画图验证）：
我们画个五边形ABCDE，从A点出发切三角形：
A
/ \
/ \
B E
| \ |
| \ |
C — D
切法：从A连接到C，从A连接到D。
得到三角形：△ABC, △ACD, △ADE。
数一数：1， 2， 3。一共3个三角形。
标准算式：五边形 n=5 → 三角形个数 = 5 - 2 = 3 → 内角和 = 3 × 180° = 540°
【易错陷阱】已知一个正多边形的每个内角都是135°，请问它是一个几边形？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：直接用 135° 去乘 n，然后设方程 135n = (n-2)×180，解起来容易乱。
图解陷阱：题目给的是“每个内角”，而不是“内角和”。这就好比告诉你一堆（n个）小积木每块多大，问你能拼成多大的城堡。你需要先算出城堡的总大小（内角和），再反推有多少块积木（边数n）。
正确思路：
1. 利用“切成三角形”模型，内角和是 (n-2)×180°。
2. 这个“和”也等于 n 个内角的和，即 n × 135°。
3. 建立等式：n × 135 = (n-2) × 180。
4. 解方程：135n = 180n - 360 → 45n = 360 → n = 8。
答：这是一个八边形。
【高手进阶】小星想用一块五边形的木板，锯掉一个角（沿着直线锯），剩下的木板板面内角和可能是多少度？
思维迁移：这题的模型还是“切蛋糕”，但变成了动态的！锯掉一个角，本质上是改变了多边形的边数(n)。你需要像侦探一样，画出锯法不同的三种情况，数一数新图形的边数，再用我们的核心模型计算。
提示：动手画图！锯法有三种：
1. 锯线经过两个顶点（锯掉一个小三角形）→ 边数减少1。
2. 锯线经过一个顶点和一条边 → 边数不变。
3. 锯线在两条边上（不经过顶点）→ 边数增加1。
分别算出原来五边形的内角和（540°），以及三种新图形的内角和。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
多边形，要求角，从一个点，出发切。
相邻两点不能切，切出三角一大摞。
三角个数n减二，乘以一百八，答案妥。
🚀 举一反三：巩固练习
一个十二边形的内角和是多少度？
一个多边形的内角和是2160°，它是几边形？
（生活应用）一块六边形的户外地砖，其中一个角损坏了。工人沿着损坏角的两边端点连线将其切掉，现在地砖的面变成了什么形状？它的内角和是多少？
📚 答案与解析
【答案速查】
母题演示：540°。
易错陷阱：八边形。
高手进阶：可能是 360°（四边形）、540°（五边形）、720°（六边形）。
练习一：1800°。解析：n=12，三角形数=12-2=10，内角和=10×180°=1800°。
练习二：十四边形。解析：设边数为n，(n-2)×180=2160 → n-2=12 → n=14。
练习三：五边形，内角和540°。解析：六边形切掉一个角（锯线经过两个顶点），边数从6变为5，内角和=(5-2)×180°=540°。
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