三年级数学期末急救：拼图求周长（重叠）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：拼图求周长（重叠） 的核心避坑原理

• 概念重塑：想象一下，周长就是一只小蚂蚁沿着图形最外边爬一圈所走的路。现在，我们把两块饼干（长方形）拼在一起，它们紧贴的那条边，是不是就被包在“大饼干”的肚子里了？小蚂蚁在外面爬，根本跑不到那条“贴贴边”上去！所以，这条边就从“外围跑道”里“消失”了。记住：拼一次，消失两条边（两个图形各贡献一条边贴在一起）。直接把两个小图形的周长相加，就相当于让小蚂蚁把那条“消失的边”也爬了两遍，当然就错啦！
• 避坑口诀：拼图周长别慌张，蚂蚁沿边跑一趟。贴贴边线会消失，总长要减两倍藏。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看到“两个图形拼成一个新图形”，想都不想，直接把两个图形的周长加起来。
  
  ✅ 正解：先想“怎么拼的？”找到拼在一起的那条（或几条）边，每拼合一条边，总周长就要减少这条边长度的2倍。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：图形画得“严丝合缝”，就以为拼成的一定是标准长方形或正方形，从而用大图形的公式去套，忽略了原始小图形的数据。
  
  ✅ 正解：永远从已知的、原始的小图形边长出发！先算出它们各自独立的周长，再根据拼合方式减去“消失的边”。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：知道要减，但只减去一条边的长度，或者把该减的边加上了。
  
  ✅ 正解：紧扣“蚂蚁理论”：拼合处的每一条“贴贴边”，都让两个图形的外围各少了1条，所以总共少了2条这样的边。计算时一定要“减 2 × 拼合边的长度”。

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🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 两个正方形拼成一个长方形，长方形的周长等于两个正方形周长之和。（ ）
2. 把两个图形拼在一起，周长一定会减少。（ ）
3. 一个边长4厘米的正方形，切成两个完全一样的长方形，这两个小长方形的周长之和比原正方形周长多了8厘米。（ ）
4. 用4个边长为2分米的正方形拼成一个大正方形，大正方形的周长是16分米。（ ）
5. 下图由两个相同的长方形拼成，如果已知每个长方形长10厘米，那么拼成图形的周长一定是60厘米。（ ）
   

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 两个长 \(7\)分米，宽 \(3\)分米的长方形，沿着宽边拼成一个大长方形。拼之前，两个小长方形周长之和是 \(\)分米；拼之后，有 \(\) 条长 \(\) 分米的边“消失”了；大长方形的周长是 \(\) 分米。
2. 把3个边长为 \(5\)厘米的小正方形摆成一排，拼成一个长方形。这个长方形的周长是 \(\) 厘米。
3. 一张长方形纸片周长 \(30\)厘米，从中间剪开，分成两个完全一样的小长方形。每个小长方形的周长是 \(\) 厘米。（提示：想想“剪开”和“拼起来”是相反的过程）
4. 用两个完全一样的直角梯形（尺寸如下图）拼成一个长方形，这个长方形的周长是 \(\) cm。
   
5. 一个长方形，如果宽不变，长增加 \(6\)厘米，那么周长增加 \(\) 厘米；如果把它和一个相同的长方形沿着增加后的长边拼起来，大长方形的周长比原来两个小长方形周长之和少 \(\) 厘米。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。拼在一起后，中间两条重合的边消失了，周长应减少。
2. ❌ 错。如果只是角挨着角，边没有重叠，周长就不变。只有边完全重合拼在一起，周长才会减少。
3. ✅ 对。正方形周长 \(4 \times 4 = 16\) cm。切成两个长方形后，多出了两条切开的边（每条长 \(4\) cm），所以两个小长方形周长之和比原来多了 \(4 \times 2 = 8\) cm。
4. ❌ 错。4个小正方形拼成大正方形，是 \(2 \times 2\) 排列。大正方形边长 \(2 \times 2 = 4\) 分米，周长 \(4 \times 4 = 16\) 分米。但是，拼的过程消失了 \(4\) 条边（内部接缝），每条 \(2\) 分米，总减少 \(8\) 分米。小正方形总周长 \(4 \times (2 \times 4) = 32\) 分米，减去 \(8\) 得 \(24\) 分米？矛盾！ 仔细想：拼成大正方形后，周长确实是 \(16\) 分米。但用“总减消失”法算：有 \(4\) 处拼合，每处消失 \(2\) 条边，共消失 \(8\) 条 \(2\) 分米的边，即 \(16\) 分米。总周长 \(32\) 减 \(16\) 正好等于 \(16\) 分米。所以原题说“是 \(16\) 分米”是对的。但这是一个超级陷阱题！它测试你是否会不假思索地用 \(4 \times 4=16\) 去判断，而忽略了拼合过程的复杂性。实际上它是对的，但思考过程容易错。本题答案应为✅。（阿星注：此题旨在引发深度思考）
5. ❌ 错。只知道长 \(10\) cm，不知道宽，无法确定拼成图形的周长。如果它们是沿长边拼，周长公式为 \( (10 + 宽 \times 2) \times 2 \)；如果沿宽边拼，公式为 \( (10 \times 2 + 宽) \times 2 \)。结果依赖于宽的长度。

第二关：防坑演练

1. 两个小长方形周长之和：\( (7+3) \times 2 = 20 \)， \(20 \times 2 = 40\)（分米）。沿宽边拼，消失的是两条宽（\(3\) 分米）？错！ 沿宽边拼，是把宽边接在一起，所以消失的是两条“长”（\(7\) 分米）！因为拼合时，两个长方形的“宽”边面对面贴在一起，这两条“宽”从外围消失了。所以空1：\(40\)，空2：\(2\)，空3：\(3\)，空4：大长方形长 \(7\) dm，宽 \(3+3=6\) dm，周长 \( (7+6) \times 2 = 26 \) dm。或用总周长减：\(40 - 2 \times 3 = 34\)？ 注意！ \(2 \times 3 = 6\)， \(40 - 6 = 34\)，不等于 \(26\)。哪里错了？因为消失的是两条“宽”（\(3\) dm），没错啊。原来陷阱在这里：“沿着宽边拼” ≠ “消失的边是宽”。我们来画图：两个长方形左右放，宽是上下方向。如果“沿宽边拼”，是把它们上下叠起来吗？不，通常“沿宽边拼”理解为将宽边对接，即一个在上，一个在下，拼成一个更长的长方形（长不变，宽加倍）。此时，拼合处是两条“长”边！所以消失的是两条长（\(7\) dm）。因此正确答案是：空1：\(40\)，空2：\(2\)，空3：\(7\)，空4：\(40 - 2 \times 7 = 26\)。此题极坑！
2. \(3\) 个一排：拼合 \(2\) 次，消失 \(2 \times 2 = 4\) 条边。小正方形总周长 \(5 \times 4 \times 3 = 60\) cm。消失长度 \(4 \times 5 = 20\) cm。大长方形周长 \(60 - 20 = 40\) cm。或：大长方形长 \(5 \times 3 = 15\) cm，宽 \(5\) cm，周长 \( (15+5) \times 2 = 40\) cm。答案：\(40\)
3. “剪开”是“拼起来”的逆过程。拼起来会减少两条边，剪开就会多出两条边。原长方形周长 \(30\) cm，剪成两个后，周长之和增加了两条剪开边的长度。如果是从长边中间剪，增加两条宽；从宽边中间剪，增加两条长。题目未说明剪法，但说“完全一样”，通常指从长边中间剪。设原长方形长 \(a\)，宽 \(b\)，则 \(2(a+b)=30\)， \(a+b=15\)。从长边中间剪后，每个小长方形长 \(a\)，宽 \(b/2\)？不对，是长变为 \(a/2\)，宽还是 \(b\)。周长是 \( (a/2 + b) \times 2 = a + 2b\)。两个就是 \(2a+4b\)。原来周长是 \(2a+2b=30\)。增加了 \(2b\)。但我们不知道 \(b\)。这题需要假设。更简单的思路：剪开后，两个小长方形周长之和比原来多了两条剪开边的长度，这两条边就是原来长方形的两条宽。所以需要知道宽。但题目只给周长，无法唯一确定。这是一道条件不足的题。但常见考法是假设从长边剪，并默认原长方形长 \(10\)，宽 \(5\)（因为 \(10+5=15\)）。此时每个小长方形长 \(10\)，宽 \(2.5\)，周长 \(25\) cm。两个总和 \(50\) cm，比原来多 \(20\) cm，即两条宽（\(5 \times 2=10\)）的两倍？不对。我们算一下：原周长 \(30\)，每个小长方形周长 \( (10+2.5)\times2=25\)，两个总和 \(50\)，多了 \(20\)。这 \(20\) 正好是两条长（\(10 \times 2=20\)）！原来从长边中间剪开，多出来的两条边是原来长方形的长！所以，答案不是固定的，但取决于原长方形的长。如果原长方形长 \(a\)，宽 \(b\)，且 \(a+b=15\)，从长边剪，则每个小长方形周长 \( (a/2 + b) \times 2 = a + 2b\)，两个总和 \(2a+4b = 2(a+b) + 2b = 30 + 2b\)。因为 \(b\) 未知，所以无法确定。但题目可能期望的答案是 \(20\) cm（若 \(b=5\)，则 \(30+10=40\)，每个 \(20\)）？不对，每个周长 \(25\)。题空问“每个小长方形的周长”。看来这是一个开放陷阱，旨在让学生意识到条件不足。在标准答案中，常补充“长是宽的2倍”等条件。这里我们按无解处理，但为了填空，常见错误答案是 \(15\)（直接除以2），正确答案应意识到无法确定。但作为填空题，可能预设长 \(10\)宽 \(5\)，则每个周长 \(25\)。答案：\(25\)（附注：此题有争议，重在理解过程）。
4. 两个直角梯形可以拼成一个长方形，拼合方式是沿着它们完全相同的斜腰拼接。观察尺寸，梯形上底 \(6\)，下底 \(10\)，高 \(4\)，另一个腰 \(8\)。拼成长方形后，长方形的长就是梯形的 \(8\) cm（斜腰成为长方形的宽？不，仔细想）。拼成的长方形，长是梯形的（上底+下底）/2？不对。更可靠的方法：一个梯形的周长：\(6+8+10+4=28\) cm。两个总周长 \(56\) cm。拼合时，两条斜腰（\(8\) cm）完全重合消失。所以消失的长度是 \(2 \times 8 = 16\) cm。拼成的长方形周长 \(56 - 16 = 40\) cm。检验：长方形长应该是梯形的（上底+下底）？即 \(6+10=16\) cm，宽是梯形的高 \(4\) cm？周长 \( (16+4) \times 2 = 40\) cm。对上了！答案：\(40\)
5. 宽不变，长增加 \(6\) cm，周长增加 \(2 \times 6 = 12\) cm（因为长多了两条边）。增加后再和相同长方形沿新长边拼，消失的边就是增加后的长边，长度为 \( (原长+6)\) cm。所以大长方形周长比原来两个小长方形周长之和少 \(2 \times (原长+6)\) cm。但题目问的是“比原来两个小长方形周长之和”，这个“原来”指的是长增加前的两个小长方形吗？语句有歧义。通常理解：第一步变化后得到一个更长的长方形，第二步用这个更长的长方形和另一个原始的（未变长的）长方形拼？不，是“和一个相同的长方形”，这个“相同”指的是和“增加后”的长方形相同，还是和“原来”的长方形相同？按描述，“把它和一个相同的长方形沿着增加后的长边拼起来”，这里的“相同的长方形”应指“长增加后的长方形”。所以，拼的时候，两个长方形的长都是 \( (原长+6)\)。那么消失的边就是两条 \( (原长+6)\)。因此，大长方形的周长比原来两个小长方形（即两个长增加后的长方形）周长之和少 \(2 \times (原长+6)\) cm。但原长未知，所以空2无法填具体数字。这可能又是一个陷阱。如果忽略原长，答案可能就是 \(2 \times 6 = 12\)？不对。我们分析：设原长方形长 \(a\)，宽 \(b\)。第一步后，新长方形长 \(a+6\)，宽 \(b\)。两个这样的新长方形周长之和为 \(2 \times [2(a+6+b)] = 4a+4b+24\)。拼合后消失两条长边 \(2(a+6)\)，大周长 = \( (4a+4b+24) - 2(a+6) = 4a+4b+24 -2a -12 = 2a+4b+12\)。原来两个旧长方形周长之和是 \(4a+4b\)。大周长比原来两个旧长方形周长之和多了 \( (2a+4b+12) - (4a+4b) = -2a+12\)，不是固定值。题目问的是“大长方形的周长比原来两个小长方形周长之和少”，这个“原来两个小长方形”如果指“长增加前的两个”，则缺少条件；如果指“拼合前的两个（即长增加后的两个）”，那么少的就是 \(2(a+6)\)，也缺条件。看来此题只能填第一个空。第二个空可能意图是考“消失的边是增加后的长”，所以少的就是“两条增加后的长”，但无法数值化。可能题目有笔误，本意是“少（）厘米”的答案用含字母式子表示。但三年级只能填数字，所以可能默认原长已知，但未给出。这是一个错题或超纲题。在训练中，我们只做第一空。答案：\(12\)；无法确定（或题目有误）。