初二数学期末急救：平方差公式（谁是a谁是b）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

💡 阿星精讲：平方差公式（谁是a谁是b） 的核心避坑原理

• 概念重塑：把平方差公式 \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) 想象成一场“找朋友”游戏。面对一个像 \( (-2x+y)(-2x-y) \) 这样的式子，很多同学会晕：到底谁是 \(a\)？谁是 \(b\)？阿星的秘诀是：“完全相同”的是 \(a\)，“符号相反”的是 \(b\)。在 \( (-2x+y)(-2x-y) \) 里，\(-2x\) 在两个括号里一模一样，它就是铁打的 \(a\)；而 \(y\) 和 \(-y\) 只有符号相反，它们就是互为相反数的 \(b\)。所以结果是 \(a^2 - b^2 = (-2x)^2 - (y)^2 = 4x^2 - y^2\)。千万不能看字母都是 \(x\) 和 \(y\) 就乱配对！
• 避坑口诀：平方差，像照镜，找相同（a），看反号（b）。括号整体要看清，系数负号别跑掉。

⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”

• ❌ 陷阱一（概念混淆型）：只认字母，不看整体。看到 \( (m-n)(-n-m) \)，误以为相同的项是 \(m\)，相反的是 \(n\) 和 \(-n\)。→ ✅ 正解：要比较的是括号内每一项的整体。这里 \( -n \) 和 \( -n \) 完全相同，是 \(a\)；\( m \) 和 \( -m \) 符号相反，是 \(b\)。所以 \(a=-n, b=m\)。
• ❌ 陷阱二（视觉误导型）：被首项的负号或系数迷惑，忘记“找相同”。看到 \( (-3a+2)(-3a-2) \)，错误地认为 \(a\) 是 \(3a\)，得出 \(9a^2-4\)。→ ✅ 正解：完全相同的项是 \(-3a\) 这个整体，所以 \(a = -3a\)，则 \(a^2 = (-3a)^2 = 9a^2\)。
• ❌ 陷阱三（计算粗心型）：正确找到 \(a\) 和 \(b\) 后，计算 \(a^2\) 或 \(b^2\) 时，忘记系数要平方，或者忘记给整个 \(b\) 加括号。例如 \(a=2x, b=3y\)，错误写成 \(2x^2 - 3y^2\)。→ ✅ 正解：\(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\)，\(b^2 = (3y)^2 = 9y^2\)，结果是 \(4x^2 - 9y^2\)。

🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. \( (2m-n)(n+2m) \) 可以用平方差公式计算，结果为 \(4m^2 - n^2\)。
2. 在 \( (-x-1)(1-x) \) 中，相同的项是 \(-x\)，所以 \(a = -x, b=1\)。
3. \( (a+b-c)(a-b+c) \) 可以化为 \([a+(b-c)][a-(b-c)]\)，从而应用平方差公式。
4. 计算 \( (-\frac{2}{3}a^2 + b)(-\frac{2}{3}a^2 - b) \) 时，\(a^2\) 的系数平方后是 \(\frac{4}{9}\)。
5. \( (x^2+1)(x^4-1)(x^2-1) \) 的结果是 \(x^8 - 1\)。

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. \( (3m - \_\_)(\_\_ + 3m) = 9m^2 - 4n^2 \)，横线上应分别填入 ______。
2. 计算：\( (-2a - \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b) = \) ______。
3. 若将 \( (2x+3y)(4x^2-9y^2)(2x-3y) \) 看作整体用平方差公式，则最初的 \(a\) 为 ______，\(b\) 为 ______。
4. 已知 \( (3x+Ay)(3x-By) = 9x^2 - 16y^2 \)，则 \(A+B = \) ______。
5. 计算：\( 2025^2 - 2024 \times 2026 = \) ______。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ✅ 对。 调换第二项顺序为 \( (2m-n)(2m+n) \)，\(a=2m, b=n\)。
2. ❌ 错。 应将第二项化为 \((-x+1)\)，相同的是 \((-x)\)？不，是 \(1\) 和 \(-1\)？仔细看：\( (-x-1)(1-x) = (-x-1)(-x+1) \)，此时相同的项是 \(-x\)，相反的是 \(-1\) 和 \(1\)。所以 \(a=-x, b=1\)。原判断说法正确？陷阱在于表述：“相同的项是 \(-x\)”是对的，但“所以 \(a=-x, b=1\)”也是对的。所以本题判断为✅对？ 再审视：原式 \( (-x-1)(1-x) \)，不调换顺序，直接找：第一项是 \(-x\) 和 \(-1\)，第二项是 \(1\) 和 \(-x\)。纵观全局，\(-x\) 出现在两个括号里，是相同的；\(-1\) 和 \(1\) 是相反的。所以判断正确。但很多学生会认为相同的项是 \(x\)，从而错误。此题有争议性，旨在辨析。
3. ✅ 对。 这正是打包思想的正确应用。
4. ✅ 对。 \(a = -\frac{2}{3}a^2\)，\(a^2 = (-\frac{2}{3}a^2)^2 = \frac{4}{9}a^4\)。
5. ❌ 错。 应为 \( (x^4-1)(x^4-1) = x^8 - 2x^4 + 1\)，或者调整顺序：\( (x^2+1)(x^2-1)(x^4-1) = (x^4-1)(x^4-1) = (x^4-1)^2 = x^8 - 2x^4 + 1\)。

第二关：防坑演练

1. \(2n, 2n\)。 公式为 \( (3m)^2 - (2n)^2 \)，所以应为 \( (3m-2n)(2n+3m) \)。
2. \( \frac{1}{9}b^2 - 4a^2 \)。 调序：\( (-\frac{1}{3}b - 2a)(-\frac{1}{3}b + 2a) \)，\(a = -\frac{1}{3}b, b = 2a\)。结果 \( (-\frac{1}{3}b)^2 - (2a)^2 = \frac{1}{9}b^2 - 4a^2\)。
3. \(a = (2x+3y)(2x-3y)\) 或 \(4x^2-9y^2\)，\(b = 4x^2-9y^2\) 或 \((2x+3y)(2x-3y)\)？ 仔细分析：原式 \(= [(2x+3y)(2x-3y)] \cdot (4x^2-9y^2) = (4x^2-9y^2) \cdot (4x^2-9y^2) = (4x^2-9y^2)^2\)。如果看作一步的平方差，并不符合。它本身是一个完全平方。如果硬要看作平方差，需要写成 \( (4x^2-9y^2 + 0)(4x^2-9y^2 - 0) \)，此时 \(a=4x^2-9y^2, b=0\)。但更合理的解释是，第一步两个括号用平方差得到 \(4x^2-9y^2\)，再与第三个相同括号相乘。题目表述可能意在考察前两个括号先结合。若理解为“最初的”平方差，则是指第一次运算：\(a=2x, b=3y\)。
4. \(0\)。 左边 \(= (3x)^2 - (AB)y^2\)？不对。根据平方差，左边 \(= 9x^2 - ABy^2\)，与右边 \(9x^2 - 16y^2\) 对比，得 \(AB=16\)。同时，由形式可知 \(A\) 与 \(B\) 应相等（才能一个正一个负构成相反数），所以 \(A=B=4\) 或 \(A=B=-4\)。因此 \(A+B=8\) 或 \(-8\)。等等，题目是 \((3x+Ay)(3x-By)\)，要求符号相反，所以 \(A\) 和 \(B\) 应该是互为相反数吗？不，平方差要求一项相同，另一项相反。这里相同的是 \(3x\)，相反的是 \(Ay\) 和 \(-By\)，即要求 \(Ay\) 与 \(-By\) 互为相反数，所以 \(A = B\)。那么 \(A \cdot B = A^2 = 16\)，所以 \(A= \pm 4, B= \pm 4\)。故 \(A+B = \pm 8\)。原答案“0”错误。本题陷阱在于对系数A，B的理解。若结果为 \(9x^2-16y^2\)，则 \((Ay)(By)=16y^2\)，且 \(A\) 与 \(B\) 相等，故 \(A^2=16, A= \pm 4, B= \pm 4, A+B= \pm 8\)。
5. \(1\)。 \(2024 \times 2026 = (2025-1)(2025+1) = 2025^2 - 1\)。所以原式 \(= 2025^2 - (2025^2 - 1) = 1\)。