魔法厨房：用无穷级数“烹饪”出圆周率π | 莱布尼茨与拉马努金的数学对决：典型例题精讲

💡 阿星精讲：圆周率的本质

圆周率 \( \pi \) 就像一个隐藏在所有完美圆形中的神秘常数，是周长与直径的永恒比值。但它的魔力远不止于此。它是一个无限不循环小数，意味着它拥有无穷无尽、永不重复的数字序列。如何捕捉这个“无限”呢？这就需要借助“无穷级数的力量”。

我们可以把无穷级数想象成一队忠诚的数学工匠。莱布尼茨公式派出的是一队细致但缓慢的工匠：\( \pi = 4 \times (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots) \)。他们每多工作一步（多计算一项），就对 \( \pi \) 的真容多雕琢一分，虽然步伐慢，但坚定不移。

而拉马努金公式派出的则是拥有神奇效率的工匠大师：\( \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} \)。他们每一步的工作量都巨大，但每一步都让结果以惊人的速度逼近真实的 \( \pi \)。这就是级数的魅力——通过简单的加减乘除和开方运算，我们就能搭建起通向这个无穷常数的天梯。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： 近似值 \( \pi_5 \approx 3.339682 \)，绝对误差 \( \approx 0.198089 \)。

举一反三解析：

变式一：
计算：\( \pi \approx 3 + \frac{4}{24} - \frac{4}{120} + \frac{4}{336} = 3 + 0.166667 - 0.033333 + 0.011905 \)
\( \approx 3 + 0.145239 = 3.145239 \)。

变式二：
解不等式 \( \frac{4}{2n+1} < 0.01 \)。
即 \( 2n+1 > 400 \)，得 \( 2n > 399 \)，\( n > 199.5 \)。
所以至少需要计算前 \( 200 \) 项。

变式三：
计算：\( \frac{9801}{2206\sqrt{2}} = \frac{9801}{2206 \times 1.41421356...} \approx \frac{9801}{3119.995} \approx 3.14159273... \)
与真实值 \( 3.14159265... \) 比较，误差仅在亿分之一量级，远超莱布尼茨级数1000项的精度（误差约 \( 0.001 \)）。这完美体现了拉马努金公式作为“高效工匠大师”的惊人力量。