圆周率深度攻略：用无穷级数的“魔法”解锁π

💡 阿星精讲：圆周率 的本质

同学们，你是否觉得圆周率 \( \pi \) 是一个神秘莫测、永远算不完的数字？今天，我要为你揭示一个惊人的秘密：无穷级数，就是解开 \( \pi \) 封印的终极咒语！

想象一下，\( \pi \) 是一座被锁在“无限迷宫”深处的宝藏。我们手中没有直接打开大门的钥匙，但数学家们找到了魔法咒语——无穷级数公式。只要念动咒语（进行简单的加减乘除），我们就能一步一步、无限逼近宝藏的真身。比如：

• 莱布尼茨的温柔咒语：\( \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots \) 这个公式优雅而缓慢，像小溪一样潺潺流淌，逐渐汇入 \( \pi \) 的海洋。
• 拉马努金的狂暴咒语：\( \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}} \) 这个公式威力巨大，每念一项，得到的精度都飞跃提升，像乘坐火箭逼近目标。

它们的核心思想就是：将复杂的极限（\( \pi \)）拆解成无限个简单运算的组合。只要我们有足够的耐心（计算足够多的项），就能获得任意想要的精度。 这就是“无穷级数的力量”——化不可能为可能，化无限为有限步骤的挑战。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：
1) \( S_4 = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{76}{105} \approx 0.723809524 \)
2) \( \pi_4 = 4 \times S_4 = \frac{304}{105} \approx 2.895238095 \)
3) 绝对误差 \( \approx 0.246354555 \)

变式一解析：
前2项和：\( \pi \approx 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} \)
计算：\( = 3 + \frac{4}{24} - \frac{4}{120} = 3 + \frac{1}{6} - \frac{1}{30} \)
\( = 3 + \frac{5}{30} - \frac{1}{30} = 3 + \frac{4}{30} = 3 + \frac{2}{15} = \frac{47}{15} \approx 3.1333 \)

变式二解析：
要使误差 \( |R_n| < \frac{1}{2n+1} < 0.005 \)
则需 \( 2n+1 > \frac{1}{0.005} = 200 \)
解得 \( 2n > 199 \)，即 \( n > 99.5 \)
所以至少需要计算 \( n = 100 \) 项（即前 \( 100 \) 项和）。

变式三解析：
这是因为不同的无穷级数具有不同的收敛速度。莱布尼茨级数是“线性收敛”，收敛较慢，每项带来的精度提升有限。而 Nilakantha 级数是“超线性收敛”，其每一项对结果的修正量（分母是三个连续整数的乘积）比莱布尼茨级数（分母是线性增长）下降得快得多，因此能用更少的项达到更高的精度。这告诉我们，选择“咒语”（公式）时，效率（收敛速度）是关键。