排列问题一看就懂！阿星教你用“有序选择”思维，三步从菜鸟变大神：典型例题精讲
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2025-12-20
💡 阿星起步：排列问题 的底层逻辑
想象一下，你有5个好朋友要一起看电影。电影院那一排恰好有5个连在一起的空座位。
现在，让你来给他们安排座位，谁坐哪儿，你说了算。
“排列”，研究的就是这种“有顺序的安排”。 阿亮坐左边第一个，和坐中间第三个，这是完全不同的两种坐法！顺序至关重要。
那么，一共有多少种不同的坐法呢？
我们用“有序选择”的思路来想：
- 第一步，选谁坐第一个座位：5个朋友都可以，所以有 \(5\) 种选择。
- 第二步，选谁坐第二个座位：第一个座位已经有人了，所以只剩下 \(4\) 个朋友可选，有 \(4\) 种选择。
- 第三步，选谁坐第三个座位：前两个座位有人了，剩下 \(3\) 个朋友，有 \(3\) 种选择。
- ……以此类推。
你发现了吗？每安排一个座位，我们的选择就少一个。
所以，安排完这5个座位的全部可能性，就是：
\[5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\ \text{种}\]
看，排列的底层逻辑就是这么简单粗暴：从一堆东西里，有序地、一个一个地挑出来排位置，把所有步骤的可能性乘起来，就是总结果。 我们学的 \(A_n^m\) 或 \(P_n^m\) 公式，只是把这个“一步一步乘”的过程，打包成了一个快捷方式而已。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】 将“阿星、阿月、阿日、阿辰、阿时”5个名字，排成一排，共有多少种不同的排法？
阿星拆解： 这就是我们核心隐喻里的“给座位选人”问题！
- 位置1： 从5个名字里任选一个放上去，有 \(5\) 种选法。
- 位置2： 剩下 \(4\) 个名字，有 \(4\) 种选法。
- 位置3： 剩下 \(3\) 个名字，有 \(3\) 种选法。
- 位置4： 剩下 \(2\) 个名字，有 \(2\) 种选法。
- 位置5： 最后剩下 \(1\) 个名字，只有 \(1\) 种选法。
根据“分步乘法计数原理”，总排法就是把每一步的选法乘起来：
\[5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\]
这也就是 \(5\) 的阶乘，记作 \(5! = 120\)。
答：共有 \(120\) 种不同的排法。
【进阶例题】 从“甲乙丙丁戊己庚”7个字中，选出3个不同的字排成一行，能组成多少个不同的“三字词”？
阿星敲黑板： 陷阱来了！“排成一行”就是“有顺序”，这依然是排列问题。但不是把7个字全排，而是只选其中3个来排。题目要求是“选出3个排一行”，包含“选”和“排”两个动作。
我们用最可靠的“有序选择”法，一步步来：
- 第一步，选第一个字： 7个字里随便选，有 \(7\) 种选法。
- 第二步，选第二个字： 第一个字已经用了，不能重复，所以从剩下的 \(6\) 个字里选，有 \(6\) 种选法。
- 第三步，选第三个字： 前两个字已经用了，从剩下的 \(5\) 个字里选，有 \(5\) 种选法。
所以，总共有：
\[7 \times 6 \times 5 = 210\]
这就是排列数 \(A_7^3\) 或 \(P_7^3\) 的计算过程。
答：能组成 \(210\) 个不同的“三字词”。
【拔高例题】 某班周三的课表中，上午要安排语文、数学、英语、物理这4节不同的课。要求数学不能排在第一节，英语不能排在第四节。请问有多少种不同的排课方案？
思维迁移： 场景变成了“排课”，但核心没变！还是给4个课程（元素）有序地安排到4个节次（位置）上。只是现在有两个位置（第一节和第四节）对特定的课（数学和英语）有限制。
我们依然可以用“有序选择”的思想来拆解，但需要一点技巧。这里我们用“正难则反”的互补思想来算：
- 第一步：计算无任何限制的总排法。
4节课排在4个位置，就是全排列：\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) 种。 - 第二步：计算“违反要求”的排法，然后从总排法中减去。
违反要求有两种情况：①数学在第一节；②英语在第四节。但要注意，这两种情况可能有重叠（即数学在第一节同时英语在第四节）。 - 情况①（数学在第一节）：
数学固定在第一节课，那么剩下的语文、英语、物理3节课去抢第2、3、4节的位置，就是一个3个元素的全排列：\(3! = 6\) 种。 - 情况②（英语在第四节）：
英语固定在第四节课，那么剩下的语文、数学、物理3节课去抢第1、2、3节的位置，也是 \(3! = 6\) 种。 - 重叠情况（数学在第一节且英语在第四节）：
数学、英语都固定了，剩下语文和物理去抢第2、3节的位置，这是2个元素的全排列：\(2! = 2\) 种。这2种情况在①和②里都被算了一次，共算了2次。 - 第三步：运用容斥原理。
至少违反一种要求的方案数为：情况① + 情况② - 重叠情况 = \(6 + 6 - 2 = 10\) 种。 - 第四步：得到符合要求的方案数。
总方案数 - 违反要求的方案数 = \(24 - 10 = 14\) 种。
答：有 \(14\) 种不同的排课方案。
📝 阿星必背口诀：
数位乘，有序挑；（几个位置就几步，每一步选择数相乘）
审题细，陷阱跑；（看清是“全排”还是“选排”，别掉坑）
场景换，核心找。（无论排队还是排课，本质都是有序放好）
🚀 举一反三：变式挑战
用“1， 3， 5， 7， 9”这5个数字，能组成多少个没有重复数字的五位数？
已知 \(A_n^3 = 60\)，求 \(n\) 的值。（提示：回想 \(A_n^3 = n \times (n-1) \times (n-2)\)）
3名男生和2名女生站成一排拍照，要求女生不能站在两边（即不能是第一个和最后一个），有多少种不同的站法？
解析与答案
【详尽解析】
变式一： 这等价于5个不同数字的全排列。答案为 \(5! = 120\) 个。
变式二： 已知 \(A_n^3 = n(n-1)(n-2) = 60\)。我们需要找到一个整数 \(n\)，使得三个连续整数相乘等于60。尝试 \(n=5\)，则 \(5 \times 4 \times 3 = 60\)，成立。故 \(n=5\)。
变式三（核心提示）： 这是一个“有限制条件的排列”。优先安排受限制的位置或元素。
- 先排两边（第1和5位）： 只能放男生。从3个男生中选2个排到两边，有顺序，是排列问题：\(A_3^2 = 3 \times 2 = 6\) 种。
- 再排中间三个位置（第2,3,4位）： 剩下1个男生和2个女生，共3个人，全排列即可：\(3! = 6\) 种。
- 分步相乘： 总站法 = \(6 \times 6 = 36\) 种。
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