周长一样面积却不同？阿星图解小学数学易错难点：铁丝围地的秘密：典型例题精讲
适用年级
三年级
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
阿星图解：同样长的铁丝，为什么围出的地盘不一样大？
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你有一根神奇的、不会断的铁丝。它的长度是固定的，比如是24厘米。现在，请你用它来围一块地。
物理场景：这根铁丝就像你家的篱笆。你用它来围一个长方形或正方形的菜园。阿星发现了一个秘密：用同样长的篱笆，围成正方形时，你圈到的菜地面积是最大的！如果铁丝足够柔软，能围成一个完美的圆，那么圈到的地会比正方形还大！
核心就是：周长（篱笆长度）固定时，图形的形状决定了它围住面积的大小。 形状越“圆润”、越“方正”，面积就越大。
👀 看图说话：周长的“变形记”
关键点拨：
看上图，我们把同一根铁丝（周长24）弯折成不同的长方形和正方形。你会发现，当它变成一个瘦高条（长11宽1）时，圈出的地很小。当它变成一个矮胖子（长8宽4）时，地变大了。当它变成最端正的正方形（边长6）时，圈出的地是最大的！
慢动作回放： 长方形的面积 = 长 × 宽。周长固定为24时，长 + 宽 = 12（因为周长=2×(长+宽)）。长和宽就像在玩“跷跷板”，一个变大，另一个就必须变小。那个容易被忽略的“隐形数字”是长和宽的“差值”。差值越小（越接近正方形），相乘得到的结果（面积）就越大！
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】用一根长24厘米的铁丝，围成一个长方形（长和宽都是整厘米数）。可以围出多少种不同的长方形？其中面积最大是多少平方厘米？
阿星的显微镜（画图验证）：
周长24cm → 长 + 宽 = 12cm。我们把所有可能情况“画”出来：
长+宽=12，且长≥宽（避免重复）。我们用“[]”表示长方形：
1. 长=11，宽=1 → 面积=11 图形：[===================] (瘦长条)
2. 长=10，宽=2 → 面积=20 图形：[==================]
3. 长=9， 宽=3 → 面积=27 图形：[===============]
4. 长=8， 宽=4 → 面积=32 图形：[============]
5. 长=7， 宽=5 → 面积=35 图形：[=========]
6. 长=6， 宽=6 → 面积=36 图形：[=======] (正方形！)
标准算式：
① 长 + 宽 = 24 ÷ 2 = 12 (厘米)
② 枚举所有满足条件的整数解：(11,1)、(10,2)、(9,3)、(8,4)、(7,5)、(6,6)，共6种。
③ 分别计算面积：11×1=11，10×2=20，9×3=27，8×4=32，7×5=35，6×6=36。
④ 结论：可围成6种不同长方形，当围成正方形（长宽均为6cm）时，面积最大，为36cm²。
【易错陷阱】一根铁丝长24米，用它围成的长方形面积可能是（ ）平方米。 A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：学生根据上一题的经验，只考虑整数边长，发现面积有20（10×2）、35（7×5）等，可能会多选A和C。
图解陷阱：陷阱就在于“长和宽必须是整数吗？”题目没有说！铁丝可以弯折成长和宽是小数的长方形。例如，长7.5米，宽4.5米（因为7.5+4.5=12），面积是33.75平方米。这意味着面积可以是20到36之间的很多数。
正确思路：周长固定时，长方形的面积有一个范围。最大面积是正方形时的36。面积可以无限接近0（当它变得极其瘦长时），但达不到0。所以面积范围是 (0, 36]。看选项：20和35都在范围内，是可能的。30也在范围内。但40 > 36，超过了最大可能面积，所以面积不可能是40。正确答案是A、B、C。
【高手进阶】小美和小胖用一样长的粉笔在地上画圈圈比赛，看谁画的圈圈围住的面积大。小美画了一个标准的圆，小胖画了一个正方形。谁赢了呢？为什么？
思维迁移：这其实就是“周长相等面积不等”核心模型的终极体现！粉笔的长度就是周长。阿星的隐喻在这里得到验证：用同样长的线，围成的图形中，圆的面积是最大的，比正方形还大。所以，画圆的小美赢了。这就是为什么生活中的水管、树干横截面、泡泡大多是圆形的原因——用最少的材料（周长）围出最大的空间（面积）。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
周长一定像篱笆，围成方形面积大。
若要地盘最大化，变圆才是顶呱呱！
🚀 举一反三：巩固练习
用一根长36分米的绳子围成一个长方形，要使围成的面积最大，长方形的长和宽各应是多少分米？面积是多少？
判断题：用20米栅栏围一块长方形花圃，花圃的面积最大正好是25平方米。 ( )
（生活应用）爸爸想用40米长的网栏，靠着一面墙围一个长方形的鸡舍（只需围三面）。怎样围能使鸡舍的面积最大？最大面积是多少？
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：长=宽=9分米时面积最大，最大面积81平方分米。
练习二：√。解析：20米围三边（一长两宽），则长+2×宽=20，当长=10，宽=5时（即围成两个正方形），面积10×5=50最大。25小于50，所以“最大正好是25”是错的。应为“×”。
练习三：靠墙围时，让垂直于墙的两条边（宽）长10米，平行于墙的那条边（长）长20米，面积最大，为200平方米。（提示：让长是宽的2倍时面积最大）
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF