初二数学完全平方公式知识点总结与练习题 乘法公式核心解析：典型例题精讲
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-24
💡 阿星精讲：总结：乘法公式（完全平方） 原理
- 核心概念：想象一下，完全平方公式就是给一个二项式“戴上紧箍咒”，让它（a+b）必须和自己相乘。这时候，“猴哥”（a）和“八戒”（b）的威力要彻底展现出来！秘诀就是：“首平方，尾平方，首尾二倍在中央”。最容易出错的，就是中间那个“2ab”，它像个害羞的“小透明”，总是被你们在计算时“吃掉”（漏掉）。记住，它不是可有可无，它是a和b团结协作的“结晶”，必须算上！
- 阿星口诀：（a±b）戴个帽（平方）， 首尾平方不能掉。 中间积的二倍， 符号同前要记牢。
- 公式推导：
- 代数推导（多项式乘法）：
$$ (a+b)^2 = (a+b)(a+b) $$
$$ = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b $$
$$ = a^2 + ab + ab + b^2 $$
$$ = a^2 + 2ab + b^2 $$ - 几何推导（数形结合）：（见下图解析）
- 代数推导（多项式乘法）：
📐 图形解析（总结：乘法公式（完全平方） 可视化）
【通用原理解释】如图所示，我们构造一个边长为 \( (a+b) \) 的大正方形。这个大正方形的面积是 \( (a+b)^2 \)。我们也可以通过分割来求面积：它由一个边长为 \( a \) 的小正方形（面积 \( a^2 \)）、一个边长为 \( b \) 的小正方形（面积 \( b^2 \)）和两个完全相同的、长和宽分别为 \( a \) 和 \( b \) 的长方形（每个面积 \( ab \)）组成。因此，总面积也等于 \( a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2 \)。这就从“形”的角度，完美证明了公式 \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)。中间那两块长方形，就是最容易“被吃掉”的 \( 2ab \)！
⚠️ 易错警示：星火避坑指南
- ❌ 典型错误1：丢掉“积的二倍” 错例：计算 \( (x+3)^2 \) 写成 \( x^2 + 9 \)。
- ✅ 阿星纠正：口诀没念全！这是只算了“首平方”（\( x^2 \)）和“尾平方”（\( 3^2=9 \)），把中间的“首尾积两倍”（\( 2 \times x \times 3 = 6x \)）给“吃掉”了。正确答案：\( x^2 + 6x + 9 \)。
- ❌ 典型错误2：平方项符号错误 错例：计算 \( (2x - 5)^2 \) 写成 \( 4x^2 - 20x - 25 \)。
- ✅ 阿星纠正：口诀最后一句“符号同前要记牢”没理解。“首平方”、“尾平方”的结果永远是正的（因为任何数的平方≥0）。中间项的符号，由括号里原来的符号决定。本题“前”是“-”号，所以中间项是 \( 2 \times (2x) \times (-5) = -20x \)。正确答案：\( 4x^2 - 20x + 25 \)。
🔥 经典题型：三例精讲
例题 1：基础巩固
题目：运用完全平方公式计算：\( (3m + \frac{1}{2}n)^2 \)
📌 阿星解析：
- 第一步：找准“首”\( a = 3m \)和“尾”\( b = \frac{1}{2}n \)。
- 第二步：套用口诀“首平方、尾平方、首尾积两倍”。
首平方： \( (3m)^2 = 9m^2 \)
尾平方： \( (\frac{1}{2}n)^2 = \frac{1}{4}n^2 \)
首尾积两倍： \( 2 \times (3m) \times (\frac{1}{2}n) = 3mn \)
✅ 答案： \( 9m^2 + 3mn + \frac{1}{4}n^2 \)
例题 2：灵活逆用
题目：已知 \( x + \frac{1}{x} = 5 \)，求 \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) 的值。
📌 阿星解析：
- 第一步：观察目标 \( x^2 + \frac{1}{x^2} \)，它很像“首平方”加“尾平方”，缺少“积两倍”。
- 第二步：对已知条件 \( (x + \frac{1}{x}) \) 进行平方：
$$ (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} $$ - 第三步：把已知值代入，并解方程：
$$ 5^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} $$
$$ 25 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 $$
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 23 $$
✅ 答案： \( 23 \)
例题 3：公式变形
题目：计算 \( 103^2 \)（要求用完全平方公式简算）
📌 阿星解析：
- 第一步：将数字拆分成“首±尾”的形式，通常靠近整百、整十。
\( 103 = 100 + 3 \) - 第二步：应用公式 \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)，其中 \( a=100, b=3 \)。
$$ 103^2 = (100+3)^2 $$
$$ = 100^2 + 2 \times 100 \times 3 + 3^2 $$
$$ = 10000 + 600 + 9 $$
✅ 答案： \( 10609 \)
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（5道）
- 计算：\( (x+5)^2 \)
- 计算：\( (2y - 1)^2 \)
- 计算：\( (-a + 4b)^2 \)
- 计算：\( (\frac{1}{3}p + 6q)^2 \)
- 计算：\( 99^2 \)（用公式）
第二关：奥数挑战（5道）
- 若 \( (m - n)^2 = 8, mn = 2 \)，求 \( (m + n)^2 \) 的值。
- 已知 \( a + b = 7, ab = 10 \)，求 \( a^2 + b^2 \) 的值。
- 计算：\( (2+\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3})^2 \)。
- 若 \( 4x^2 + kxy + 9y^2 \) 是一个完全平方式，求常数 \( k \) 的值。
- 证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
第三关：生活应用（5道）
- （工程规划）一个正方形广场，计划将边长增加 \( b \) 米进行扩建。用含原边长 \( a \) 和 \( b \) 的式子表示扩建后增加的面积。
- （AI算法）在机器学习中，欧氏距离的平方公式为 \( d^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \)。若已知 \( x_1+x_2=10, x_1x_2=21, y_1+y_2=6, y_1y_2=8 \)，且 \( d^2=10 \)，求 \( x_1y_1 + x_2y_2 \) 的值。（提示：展开 \( (x_1 - x_2)^2 \) 和 \( (y_1 - y_2)^2 \) ）
- （航天轨道）一个近地卫星的轨道近似为圆形。科学家发现，若其速度 \( v \) 满足 \( (v - v_0)^2 = k \)，它就能保持稳定轨道。已知 \( v_0 = 7.9 \, \text{km/s}, k=0.04 \)，求卫星速度 \( v \) 的可能值。
- （网购优惠）某商品原价 \( m \) 元，“双十一”活动规则是：先降价 \( n \) 元，再对折后价格进行平方（分）计算返现。请你写出顾客实际支付金额的代数式（结果保留到元）。
- （材料科学）一种新型纳米材料的边长每增加1纳米（nm），其表面积会增加 \( (2a+1) \) 平方纳米。已知原边长为 \( a \) nm（\( a > 0 \)）的该材料表面积为 \( a^2+20 \) 平方纳米，求 \( a \) 的值。
🤔 专家问答 FAQ
Q：这一章在考卷里通常占多少分？
A：完全平方公式是整式乘除与因式分解的核心内容之一。直接考察计算通常占3-6分（1-2道题），但更重要的是，它是后续学习分式、二次方程、二次函数的基础工具，间接影响分数可达20分以上。熟练运用它是初二数学取得高分的关键一步。
Q：学好它对高中有什么帮助？
A：帮助巨大！它是高中数学的“基石技能”。1. 函数与导数：解析式化简、求最值（配方法）的核心就是完全平方。2. 解析几何：两点距离公式、圆的方程推导都依赖它。3. 向量与复数：模长的计算本质上就是完全平方公式的延伸。现在把它练成“肌肉记忆”，高中数理学习会顺畅很多。
参考答案
第一关： 1. \( x^2+10x+25 \) 2. \( 4y^2-4y+1 \) 3. \( a^2 -8ab +16b^2 \) 4. \( \frac{1}{9}p^2+4pq+36q^2 \) 5. \( 9801 \)
第二关： 1. \( 16 \) 2. \( 29 \) 3. \( 14 \) 4. \( k=\pm12 \) 5. 设两奇数为\( 2n-1, 2n+1 \)，平方差为 \( (2n+1)^2 - (2n-1)^2 = 8n \)，是8的倍数。
第三关： 1. \( 2ab + b^2 \) 2. \( 25 \) 3. \( 7.8 \, \text{km/s} \) 或 \( 8.0 \, \text{km/s} \) 4. \( \frac{1}{2}(m-n)^2 \) 元（取整） 5. \( a = 5 \)
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF