初一上学期数学 数轴上的距离 知识点与易错题型解析：典型例题精讲
适用年级
初一
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-24
💡 阿星精讲：易错：数轴上的距离 原理
- 核心概念：想象数轴是一条无限长的跑道，点A和点B是两个运动员，他们站在跑道的不同位置。距离是什么呢？距离就是他们之间间隔的“跑道长度”。这个长度永远是正的，不可能说你俩间隔了“-5米”吧？所以，当我们用位置坐标 \( a \) 和 \( b \) 来计算时，“大减小”当然对，但万一你不知道谁大谁小呢？万能法宝就是绝对值“| |”！它像一个“正义的裁判”，会帮你自动去掉负号，确保距离永远是个正数。所以，阿星说：点A到点B的距离是 \( |a-b| \) 。因为距离不可能是负数！求两点距离忘了加绝对值就完了。
- 阿星口诀：数轴距离很简单，两点坐标来相减。谁大谁小先不管，绝对值号两边站！
- 公式推导：
- 设数轴上点A的坐标为 \( a \)，点B的坐标为 \( b \)。
- 若 \( a > b \)，则距离为 \( a - b \)。
- 若 \( a < b \)，则距离为 \( b - a \)。
- 如何用一个式子统一以上两种情况？使用绝对值：\( \text{距离} = |a - b| \)。
- 因为 \( |a-b| = |b-a| \)，所以谁减谁都不影响结果，绝对值会保证结果是非负数。
📐 图形解析（易错：数轴上的距离 可视化）
【图形解析】如图所示，我们有一个数轴，上面有两个点：点A（坐标为 \( a \) ）和点B（坐标为 \( b \) ）。它们之间的线段长度就是距离。无论 \( a \) 和 \( b \) 谁在左谁在右，这段长度都是正的。我们用代数式 \( |a - b| \) 来精确表示这段长度。在图形上，这段距离就是连接A、B两点的虚线长度。比如，如果 \( a \) 对应数轴上的100，\( b \) 对应200，那么距离就是 \( |100-200| = 100 \)；如果 \( a=200, b=100 \)，结果同样是 \( |200-100| = 100 \)。
⚠️ 易错警示：星火避坑指南
- ❌ 典型错误1：计算点 \( P(-5) \) 到点 \( Q(2) \) 的距离，直接写 \( -5 - 2 = -7 \) 或 \( 2 - (-5) = 7 \)，但没有明确距离必须为非负数，导致在复杂问题中可能忽略符号直接使用差。
- ✅ 阿星纠正：根本原因是概念混淆，将“坐标差”与“距离”划了等号。距离是几何量，永远是正的。记住阿星的比喻：绝对值是“正义裁判”，自动出“红牌”罚掉负数！只要见到“距离”，立刻先给表达式套上绝对值号 \( |\quad| \)，再计算。
- ❌ 典型错误2：已知点A到点B的距离是5，点A坐标为1，求点B坐标时，只写出 \( 1+5=6 \)，而漏掉了 \( 1-5=-4 \) 这个解。
- ✅ 阿星纠正：根本原因是思维定式，只考虑了B在A右侧的情况，忽略了B在A左侧的可能性。距离 \( |a-b|=5 \) 意味着 \( a-b=5 \) 或 \( a-b=-5 \)，对应B点在A点左、右两种情形。画个数轴，一左一右，一目了然！
🔥 经典题型：三例精讲
例题 1：基础巩固
题目：数轴上点 \( M \) 表示的数是 \( -3 \)，点 \( N \) 表示的数是 \( 4 \)，求 \( M, N \) 两点间的距离。
📌 阿星解析：
- 套公式：见到“距离”，立刻想到绝对值公式：距离 \( = |M - N| \)。
- 代数值：\( |-3 - 4| = |-7| \)。
- 去绝对：“正义裁判”出手，负号被罚下：\( |-7| = 7 \)。
✅ 答案：\( 7 \)
例题 2：逆向思维
题目：数轴上点 \( A \) 对应的数为 \( 1 \)，点 \( A \) 与点 \( B \) 之间的距离为 \( 3 \)，求点 \( B \) 对应的数。
📌 阿星解析：
- 设未知数：设点 \( B \) 对应的数为 \( x \)。
- 列方程：根据距离公式：\( |1 - x| = 3 \)。
- 解方程：绝对值方程要拆开，考虑左右两种情况：
- 情况一：\( 1 - x = 3 \)，解得 \( x = -2 \)。
- 情况二：\( 1 - x = -3 \)，解得 \( x = 4 \)。
- 画图验证：在数轴上标出点A(1)，向左3个单位是点(-2)，向右3个单位是点(4)。完全正确！
✅ 答案：点 \( B \) 对应的数是 \( -2 \) 或 \( 4 \)。
例题 3：综合应用
题目：已知数轴上点 \( A(a) \)，点 \( B(b) \) 满足 \( |a+2| + |b-3| = 0 \)。求 \( A, B \) 两点之间的距离。
📌 阿星解析：
- 破解绝对值方程：\( |a+2| \) 和 \( |b-3| \) 都是非负数。几个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零。
- 所以 \( |a+2| = 0 \) → \( a = -2 \)。
- \( |b-3| = 0 \) → \( b = 3 \)。
- 求距离：已知 \( A(-2) \)， \( B(3) \)，距离 \( = |(-2) - 3| = |-5| = 5 \)。
✅ 答案：\( 5 \)
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（5道）
- 求数轴上表示 \( 5 \) 和 \( -1 \) 的两点之间的距离。
- 点 \( P \) 在数轴上对应的数是 \( -4 \)，点 \( Q \) 对应的数是 \( 7 \)，求 \( PQ \) 的长。
- 计算：\( |8 - 15| \)。这个结果可以表示数轴上哪两个整数点之间的距离？
- 已知点 \( C \) 到原点 \( O \) 的距离是 \( 6 \)，写出所有可能的点 \( C \) 表示的数。
- 若点 \( M \) 与点 \( N(2) \) 的距离是 \( 4 \)，求点 \( M \) 表示的数。
第二关：奥数挑战（5道）
- 数轴上点 \( A \) 表示 \( -7 \)，点 \( B \) 表示 \( x \)。若 \( AB = 12 \)，求 \( x \) 的值。
- 点 \( A, B, C \) 在数轴上对应的数分别是 \( -1, 2, m \)。已知 \( AC = 2 \times BC \)，求 \( m \) 的值。
- 若 \( |m - n| = n - m \)，且 \( |m| = 4 \)，\( |n| = 3 \)，求 \( m + n \) 的值。
- 数轴上，表示数 \( a \) 的点到表示 \( -5 \) 的点的距离是 \( 3 \)，到表示数 \( 1 \) 的点的距离是 \( 7 \)，求 \( a \)。
- 动点 \( P \) 从数轴上表示 \( -2 \) 的点出发，以每秒 \( 3 \) 个单位长度的速度向右运动，\( t \) 秒后到达点 \( Q \)。求 \( t \) 为何值时，点 \( Q \) 到原点 \( O \) 的距离为 \( 10 \)？
第三关：生活应用（5道）
- 【AI巡检】一个AI扫地机器人沿着一条笔直的走廊（可看作数轴）清扫。它的初始充电桩在坐标0点。第一次它移动到+5米处清扫，然后返回充电。第二次它移动到-8米处清扫。请问，机器人两次移动的直线距离（从起点到终点的位移大小）分别是多少？
- 【航天控制】在太空对接模拟中，飞船A的位置标记为坐标 \( 120 \)（单位：米），飞船B的位置标记为坐标 \( -85 \)。为确保安全，两船必须保持至少 \( 210 \) 米的距离。请问当前它们之间的距离是否符合安全标准？
- 【网购物流】城市主干道可视为数轴。仓库W在坐标 \( -15 \) 公里处，客户C家在坐标 \( 22 \) 公里处。快递员需要从仓库取件送到客户家。请计算送货的直线路程。如果快递车每公里耗电0.2度，完成这次送货至少需要准备多少度电？
- 【工程测量】在一条水平基准线（数轴）上，工程师需要安装两个传感器。设计要求两个传感器之间的距离精确为 \( 4.5 \) 米。如果第一个传感器安装在 \( 1.2 \) 米的位置，请问第二个传感器可能的安装位置是多少？
- 【温差计算】某冷冻实验室，A区的实时温度为 \( -12^{\circ}C \)，B区的实时温度为 \( -3^{\circ}C \)。在温度数轴上，A、B两区的温度差（绝对值）是多少？这个差值反映了什么物理量？
🤔 专家问答 FAQ
Q：这一章在考卷里通常占多少分？
A：数轴上的距离是《有理数》和《代数式》章节的基础核心概念。直接出题可能占3-6分（一道填空或选择+一道简单解答）。但更重要的是，它是后续学习绝对值方程、线段中点、动点问题乃至整个坐标系思想的基石，其原理会间接影响大量综合题的得分。
Q：学好它对高中有什么帮助？
A：帮助巨大！1. 坐标系思想：数轴是一维坐标系，这里的距离公式 \( |a-b| \) 就是一维空间两点间距离公式。到了高中，你会学到二维的 \( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \)，其核心思想“对应坐标差的绝对值（平方）”从这里萌芽。2. 绝对值理解：对 \( |a-b| \) 几何意义的深刻理解，是解决高中复杂绝对值函数、不等式问题的关键。可以说，这里是数形结合思想的第一个练兵场。
参考答案
第一关：1. 6 2. 11 3. 7；表示8和15（或15和8）的两点 4. 6 或 -6 5. 6 或 -2
第二关：1. 5 或 -19 2. 5 或 8 3. -1 或 -7 4. -8 5. \( t=\frac{8}{3} \) 或 \( t=4 \)
第三关：1. 5米；8米 2. 距离为205米，小于210米，不符合安全标准。 3. 路程37公里；至少7.4度电。 4. 5.7米 或 -3.3米 5. 温度差为 \( 9^{\circ}C \)；反映了两个区域冷热程度的差异大小。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF