图解浓度置换问题：三步破解溶质追踪难题：典型例题精讲
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-21
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象你有一大瓶（10升）纯酒精（浓度100%）。现在你做一件事：倒出1升液体，再补满1升纯净水。阿星教你像侦探一样，只追踪瓶子里一个东西——纯酒精的质量（溶质）。
👀 看图说话：溶质的“幸存游戏”
关键点拨：慢动作回放
倒出1升时，倒出的是当前整个瓶子里的均匀混合液。所以，倒出的这1升液体里，纯酒精的比例和瓶子里剩下的比例一模一样。瓶子剩下 10 - 1 = 9 升液体，所以剩下的酒精量是原来总量的 9/10。
隐形数字： 补加清水后，总溶液恢复10升，但纯酒精的总量没有增加。所以，补满水这个动作，只改变了溶液总量，没有改变已有的溶质量。整个操作完成后，酒精浓度 = 剩余酒精量 ÷ 10。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】一杯100克浓度为30%的糖水，喝掉20克后，用清水加满。现在糖水的浓度是多少？
阿星的显微镜
1. 追踪溶质（糖）： 原来有糖 100 × 30% = 30克。
2. 第一次“幸存”： 喝掉（倒出）20克，剩下 100 - 20 = 80克溶液。剩下的糖占原来的 80/100 = 4/5。
剩下糖量 = 30克 × (80/100) = 30 × 0.8 = 24克。
3. 补满清水： 总质量回到100克，糖还是24克。
4. 求新浓度： 浓度 = 24 ÷ 100 = 0.24 = 24%。
标准算式： \( 30\% \times \frac{100-20}{100} = 30\% \times 0.8 = 24\% \)
【易错陷阱】一瓶1000克浓度为15%的盐水，每次倒出200克后加满清水，如此重复3次后，瓶内盐水浓度是多少？
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错： 认为倒出三次，每次减少200克溶质。错误算式：\( 15\% - (200/1000) \times 3 = 15\% - 60\% \)（出现负数，明显不对）或 \( 15\% \times (1 - 200/1000 \times 3) \)。
图解陷阱： 错误思路把溶质的减少看成了简单的“减法”。图上每次倒出后，剩下的溶质是按比例（分数）留存，而不是固定值。第一次倒出后浓度变了，第二次倒出同样体积时，带走的溶质量是基于新的、更低的浓度。
正确思路： 追踪溶质，每次操作都乘以一个“留存比例”。
每次倒出200克，剩下 \( \frac{1000-200}{1000} = \frac{800}{1000} = 0.8 \)（倍）的溶质。
操作3次，初始溶质（浓度）就连乘3次0.8。
最终浓度 = \( 15\% \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 = 15\% \times 0.512 = 7.68\%\)。
【高手进阶】阿星有一瓶600毫升的红酒（酒精浓度12%）。他每次喝掉100毫升后，都用酒精浓度6%的葡萄酒补满。请问这样喝了两次后，瓶里液体的酒精浓度是多少？
思维迁移： 核心模型依然是“追踪核心物质（纯酒精）”，但补进去的不是清水，而是有浓度的溶液。因此，我们的“溶质追踪”要分两步：第一步，倒出后，剩余溶质按比例减少；第二步，补入新溶液，带来了额外的溶质。需要把这两步的溶质变化都算清楚。
计算演示：
初始纯酒精：\( 600 \times 12\% = 72 \) ml。
第一次操作：
1. 喝掉100ml后剩余酒精：\( 72 \times \frac{600-100}{600} = 72 \times \frac{5}{6} = 60 \) ml。
2. 补入100ml浓度为6%的酒，加入酒精：\( 100 \times 6\% = 6 \) ml。
此时总酒精：\( 60 + 6 = 66 \) ml。总溶液600ml。
第二次操作：
当前浓度：\( 66 / 600 = 11\% \)。
1. 喝掉100ml后剩余酒精：\( 66 \times \frac{5}{6} = 55 \) ml。
2. 补入酒精：\( 100 \times 6\% = 6 \) ml。
最终总酒精：\( 55 + 6 = 61 \) ml。
最终浓度：\( 61 \div 600 \approx 10.17\% \)。
📝 阿星的定海神针（口诀）：
置换浓度像侦探，跟踪溶质是关键。
倒出多少乘剩下，分数连乘一遍遍。
🚀 举一反三：巩固练习
一杯200克浓度为40%的果汁，倒出50克后加满水，浓度变为多少？
一桶10升浓度为18%的盐水，每次倒出2升加满水，经过4次操作，很多人会错算为浓度还剩10%。请问正确答案是多少？
一个水池有80吨含盐10%的盐水，每分钟抽出4吨盐水，同时注入4吨含盐5%的盐水。一小时后水池盐水浓度约是多少？（提示：把“每分钟”看成一次置换操作）
📚 答案与解析
【答案速查】
练习一：\( 40\% \times \frac{200-50}{200} = 40\% \times 0.75 = 30\% \)
练习二：\( 18\% \times (\frac{10-2}{10})^4 = 18\% \times 0.8^4 = 18\% \times 0.4096 \approx 7.37\% \)（不是10%）
练习三：每次操作后剩余原溶质比例：\( \frac{80-4}{80} = 0.95 \)，补入溶质：\( 4 \times 5\% = 0.2 \)吨。设初始溶质8吨。操作60次后浓度计算复杂，模型核心是理解每次浓度变化都基于前一次，可用公式：最终浓度 ≈ \( (初始浓度 \times 留存比例^{次数}) + (补入浓度 \times (1-留存比例^{次数}) \)。代入得约 \( (10\% \times 0.95^{60}) + (5\% \times (1-0.95^{60})) \approx 5.05\% \)。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF