数学小白救星！3步攻克「新定义运算」：像读说明书一样简单：典型例题精讲

阿星拆解：

第一步：找到“说明书”。题目定义是：\( x ※ y = xy + x + y \)。意思是，把符号“※”前后的两个数，先相乘，再加上第一个数，再加上第二个数。

第二步：对号入座，严格执行。题目要算 \( 2 ※ 3 \)。那么 \( x \) 就是 2，\( y \) 就是 3。

第三步：代入“公式”：
\( 2 ※ 3 = 2 \times 3 + 2 + 3 \)
\( = 6 + 2 + 3 \)
\( = 11 \)

看，就像照着菜谱放调料一样简单！

阿星敲黑板：

坑在哪里？ 这道题不再是简单的“代入计算”，而是已知运算结果，让你反推其中一个数。这就像知道菜的味道，让你猜放了多少盐。很多同学会懵，但其实“说明书”没变！

第一步：再次确认“说明书”：\( a ★ b = 2a - 3b \)。规则很清楚。

第二步：严格翻译已知条件。条件 \( (x ★ 5) = 1 \)，翻译成“说明书”的语言就是：当 \( a = x \)，\( b = 5 \) 时，运算结果 \( 2a - 3b \) 等于 1。

第三步：列出方程并求解：
\( 2x - 3 \times 5 = 1 \)
\( 2x - 15 = 1 \)
两边同时加15：\( 2x = 16 \)
两边同时除以2：\( x = 8 \)

看，只要把新定义运算当作一个固定的“翻译机”，把题目语言翻译成普通方程，就回到你的舒适区了！

思维迁移：

这道题看着很吓人，出现了“四位自然数”、“平衡数”这种大词。但请冷静！它的本质没变：题目给了你一份关于“平衡数”的新说明书。

第一步：精读“说明书”，并用自己话复述。规则：一个四位数，千位数字的平方 + 百位数字的平方 = 十位数字的平方 + 个位数字的平方。

第二步：明确任务范围。只在 \( 1000 \) 到 \( 2000 \) 之间找。这意味着千位 \( a \) 固定是1！百位 \( b \) 可以从0到9。

第三步：化繁为简，分步执行。因为 \( a=1 \)，所以 \( a^2 = 1 \)。条件简化为：\( 1 + b^2 = c^2 + d^2 \)。

第四步：有序枚举（尝试）。我们让 \( b \) 从 0 试到 9，看看等式右边 \( c^2+d^2 \) 能否等于左边的值。
- 当 \( b=0 \)：左边 = \( 1+0=1 \)。右边需要 \( c^2+d^2=1 \)，在0-9中，只有 \( 1^2+0^2=1 \) 或 \( 0^2+1^2=1 \)。所以后两位可以是 10, 01(即1，但作为十位个位是01)。在1000~2000范围内，数是 1001。
- 当 \( b=1 \)：左边 = \( 1+1=2 \)。右边需要 \( c^2+d^2=2 \)，只有 \( 1^2+1^2=2 \)。所以后两位是11。数是 1011。
- 当 \( b=2 \)：左边 = \( 1+4=5 \)。右边 \( c^2+d^2=5 \)，有 \( 1^2+2^2=5 \) 和 \( 2^2+1^2=5 \)。所以后两位是12, 21。数是 1012, 1021。
... (以此类推，可以继续试，但注意左边最大值是 \( 1+81=82 \)，右边最大是 \( 81+81=162 \)，所以肯定能找全) 为了演示，我们先找到这里。

发现了吗？无论概念包装得多复杂，核心就是读懂定义，然后像计算机程序一样，一步一步去验证。题目里的例子（1234）就是教你如何用定义的“示范”，一定要看！