“坏事传千里”也有数学模型？阿星老师带你用指数函数拆解网络心理！：典型例题精讲
适用年级
六年级
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
💡 阿星精讲：网络心理 的本质
俗话说“好事不出门，坏事传千里”，在网络世界里尤其如此！我们可以用一个简单的数学模型来理解它：假设一条正面情绪信息在网络节点间的传播“传染力”系数是 \( \alpha \)，而一条负面情绪信息的“传染力”系数是 \( \beta \)。研究表明，通常 \( \beta > \alpha \)，意味着负面情绪被转发、评论和扩散的“权重”更高。
为什么？因为负面信息（如愤怒、焦虑）更能激发人们的聚集行为（点击、讨论、情绪共鸣）。如果我们用函数 \( I(t) \) 表示在时间 \( t \) 知晓该信息的人数，那么负面信息的增长速率 \( \frac{dI}{dt} \) 往往远大于正面信息。这就像一滴墨水滴入清水的扩散速度，远快于一滴清水滴入墨水的“净化”速度。
🔥 经典例题精析
题目：在一个社交网络模型中，一条正面新闻的传播满足 \( I_p(t) = 100 e^{0.2t} \)（\( t \) 单位为小时）。而一条同等初始关注度的负面新闻，其传播“加速度”是正面新闻的 \( 2 \) 倍，即其增长满足 \( \frac{dI_n}{dt} = 0.4 I_n(t) \)。请问：\( 24 \) 小时后，负面新闻的知晓人数是正面新闻的多少倍？(已知 \( e^{4.8} \approx 121.51 \)， \( e^{2.4} \approx 11.02 \) )
阿星拆解：
步骤一：明确模型。 正面模型已直接给出： \( I_p(t) = 100 e^{0.2t} \)。负面模型给出的是微分方程： \( \frac{dI_n}{dt} = 0.4 I_n(t) \)，这是一个标准的指数增长模型，其通解为 \( I_n(t) = C e^{0.4t} \)，其中 \( C \) 为初始值。
步骤二：确定初始条件。 题目指出“同等初始关注度”，意味着在 \( t = 0 \) 时， \( I_n(0) = I_p(0) = 100 \)。代入负面通解： \( 100 = C e^{0} \)，所以 \( C = 100 \)。因此，负面传播函数为： \( I_n(t) = 100 e^{0.4t} \)。
步骤三：计算 \( 24 \) 小时后的倍率。 将 \( t = 24 \) 代入两个函数。注意 \( t=24 \) 代入指数部分时，单位需保持一致，\( 0.2 \times 24 = 4.8 \)，\( 0.4 \times 24 = 9.6 \)。
\( I_p(24) = 100 e^{0.2 \times 24} = 100 e^{4.8} \approx 100 \times 121.51 = 12151 \)。
\( I_n(24) = 100 e^{0.4 \times 24} = 100 e^{9.6} \)。
这里 \( e^{9.6} = e^{(4.8 \times 2)} = (e^{4.8})^2 \approx (121.51)^2 = 14764.68 \)。
所以 \( I_n(24) \approx 100 \times 14764.68 = 1476468 \)。
倍率 \( k = \frac{I_n(24)}{I_p(24)} \approx \frac{1476468}{12151} \approx 121.51 \)。
口诀：情绪传播似指数，负面系数是正两倍。初始相同时间走，最终差距指数求！
🚀 举一反三：变式挑战
某平台一条娱乐八卦（中性偏正面）的传播函数为 \( I_a(t) = 50 e^{0.15t} \)。一条社会争议事件（负面）在相同时刻发布，其传播增长率为八卦事件的 \( 2.5 \) 倍，且初始关注人数仅为八卦事件的 \( 80\% \)。求 \( 12 \) 小时后，争议事件的知晓人数 \( I_c(12) \)。
监测发现，一条负面舆论在 \( 6 \) 小时内，知晓人数从 \( 1000 \) 人增长到了 \( 10000 \) 人。假设其传播符合指数模型 \( I(t)=I_0 e^{kt} \)。请求出其传播增长率常数 \( k \)，并推算如果这是一条正面信息（增长率为该负面信息的 \( \frac{1}{3} \)），从 \( 1000 \) 人增长到 \( 1500 \) 人需要多少小时？
平台为了抑制“坏事传千里”，在负面信息传播 \( T_0 \) 小时后启动“冷静期”干预，使后续传播函数从 \( I_n(t)=Ae^{0.5t} \) 变为线性增长 \( I_n(t) = I_n(T_0) + 2000(t - T_0) \)。已知 \( A=500 \)， \( T_0=4 \)。请问：如果不干预，\( 24 \) 小时后人数是多少？干预后，\( 24 \) 小时后人数是多少？干预使人数减少了大约多少？
答案与解析
经典例题答案：约 \( 121.51 \) 倍。
变式一解析：
争议事件增长率 \( k_c = 0.15 \times 2.5 = 0.375 \)。初始值 \( I_c(0) = 50 \times 80\% = 40 \)。
故 \( I_c(t) = 40 e^{0.375t} \)。
代入 \( t=12 \)： \( I_c(12) = 40 e^{0.375 \times 12} = 40 e^{4.5} \)。
已知 \( e^{4.5} \approx 90.02 \)，所以 \( I_c(12) \approx 40 \times 90.02 = 3600.8 \approx 3601 \) 人。
变式二解析：
第一步：求负面增长率 \( k_n \)。由 \( 10000 = 1000 e^{k_n \times 6} \) 得 \( e^{6k_n} = 10 \)， \( 6k_n = \ln 10 \)， \( k_n = \frac{\ln 10}{6} \approx \frac{2.3026}{6} \approx 0.3838 \)。
第二步：正面增长率 \( k_p = \frac{1}{3} k_n \approx 0.1279 \)。
第三步：求正面增长时间。由 \( 1500 = 1000 e^{0.1279t} \) 得 \( e^{0.1279t} = 1.5 \)， \( 0.1279t = \ln 1.5 \approx 0.4055 \)，所以 \( t \approx \frac{0.4055}{0.1279} \approx 3.17 \) 小时。
变式三解析：
第一步：不干预，\( 24 \) 小时后人数： \( I_{n1} = 500 e^{0.5 \times 24} = 500 e^{12} \)。 \( e^{12} \approx 162754.8 \)，故 \( I_{n1} \approx 500 \times 162754.8 = 81,377,400 \)。
第二步：干预下，先求 \( T_0=4 \) 小时时的人数： \( I_n(4) = 500 e^{0.5 \times 4} = 500 e^{2} \approx 500 \times 7.389 = 3694.5 \)。
干预后为线性增长： \( I_{n2}(24) = 3694.5 + 2000 \times (24 - 4) = 3694.5 + 40000 = 43694.5 \)。
第三步：减少人数： \( 81,377,400 - 43,694.5 \approx 81,333,705.5 \)。干预效果极其显著。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF