别再死记硬背!用“向后转”的比喻,零基础彻底搞懂「负负得正」:典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
阿星带你彻底搞懂「负负得正」:从迷路到指路的数学奇遇
💡 阿星起步:负负得正 的底层逻辑
想象一下,你正在走路。数学里的正数,就像你面朝的方向。那负数呢?它就像是让你“向后转”,面朝相反的方向。
现在,我们把“-”(减号/负号)理解为一个神奇的转向指令:它不改变你走路的努力程度(数字的大小),但它会命令你“向后转”!
那么 “负负得正” (\((-a) \times (-b) = a \times b\)) 就很好玩了:
- 第一个负号(-)对你说:“嘿,向后转!” 你从正方向转到了负方向。
- 第二个负号(-)又对你说:“嘿,再向后转一次!” 你从负方向,又转回到了正方向!
所以,两个“向后转”指令连续作用,结果就是你面朝最初的方向。这就是“负负得正”的底层感觉——它让方向“归位”了。
为什么要学它?因为它让数学世界变得自洽和完整。比如:
“我欠你5块钱”是 \(-5\)。
“我‘欠你钱’这件事的相反面”是什么呢?那就是“你不欠我钱,反而我得到5块钱”,也就是 \(-(-5) = +5\)。看,生活也需要“负负得正”的逻辑!
🔥 三级跳挑战:从入门到大神
【入门例题】请计算:\((-2) \times (-3) = ?\)
阿星拆解:我们一步步用“转向指令”来想。
- 先看数字部分:\(2 \times 3 = 6\)。这是我们走路“步子的大小”。
- 再看符号:有两个负号,也就是两个“向后转”指令。
- 第一个“-”号:让我们从正方向转向负方向。
- 第二个“-”号:在负方向的基础上,再来一次“向后转”。
- “向后转再向后转”,最终我们就面朝正方向。
- 所以,方向为正,结果是 \(+6\),通常写作 \(6\)。
因此,\((-2) \times (-3) = 6\)。
【进阶例题】昨天午夜气温是\(-5^{\circ}C\),之后以每小时\(-2^{\circ}C\)的速度变化。请问3小时前,气温是多少度?
阿星敲黑板:这道题的陷阱有两个:“每小时变化速度”带负号,以及“3小时前”代表时间是负的。
我们一步步化解:
- 理解已知条件:
- “每小时\(-2^{\circ}C\)”意味着气温在下降(速度为负)。
- “3小时前”意味着时间要倒退回过去,我们用 \(-3\) 小时来表示。
- 建立关系:
气温变化量 = 变化速度 × 时间。
所以变化量 = \((-2) \times (-3)\)。 - 计算变化量:
- 数字:\(2 \times 3 = 6\)。
- 符号:两个负号,负负得正。
- 所以变化量是 \(+6^{\circ}C\),即上升了6度。
- 求3小时前的气温:
昨天午夜气温是 \(-5^{\circ}C\)。
3小时前(也就是更早的时候)的气温 = 午夜气温 - 变化量?错!
正确的逻辑是:从“更早的时刻”到“午夜”,气温上升了6度。所以要得到更早的气温,需要从午夜气温往回减掉这个上升的量。
更早气温 = \(-5 - 6 = -11\)。
(或者列完整式子:最终气温 = 初始气温 + 速度×时间,即 \(-5 + [(-2) \times (-3)] = -5 + 6 = 1\)?这里又错了!因为“3小时前”,时间t = -3,所以午夜的气温是“最终”,公式应为:最终气温(-5) = 初始气温(?) + (-2)×(-3),所以初始气温 = -5 - 6 = -11。我们避开公式,用逻辑:如果从过去到午夜是上升6度,那么过去肯定比午夜低6度,所以是-5-6=-11。)
看,这里计算“变化量”时完美用到了“负负得正”(\((-2)\times(-3)=+6\)),但最后一步理解“上升”和“求更早气温”的关系是关键陷阱!答案为 \(-11^{\circ}C\)。
【拔高例题】化简计算:\(-(-x + 2y) \times (-3)\),其中 \(x\) 和 \(y\) 是正数。
思维迁移:虽然出现了字母,看起来复杂了,但“负号即转向”的原型丝毫没变。我们把整个\((-x+2y)\)看成一个“整体包”。
- 第一步:处理最外层的负号
式子最前面有个“-”号:\(-(-x+2y)\)。这意味着对“整体包”\((-x+2y)\)执行一次“向后转”。
这个“向后转”作用在括号里的每一项上:
\(-(-x+2y) = (-(-x)) + (-(2y))\)
根据“负负得正”:\(-(-x) = +x\);\(-(2y) = -2y\)。
所以,第一步化简为:\(x - 2y\)。 - 第二步:与\((-3)\)相乘
现在式子变成:\((x - 2y) \times (-3)\)。
乘法分配律:\((x - 2y) \times (-3) = x \times (-3) + (-2y) \times (-3)\)。 - 第三步:分别计算,运用法则
- \(x \times (-3) = -3x\) (正×负=负,一次转向)
- \((-2y) \times (-3)\):先数字部分 \(2y \times 3 = 6y\);符号部分两个负号,负负得正。所以结果是 \(+6y\)。
- 第四步:合并结果
最终结果为:\(-3x + 6y\)。
在整个过程中,每一个单独的“负负得正”(如\(-(-x)\)和\((-2y)\times(-3)\))都在执行我们最熟悉的“向后转再向后转,方向归位”的操作。
📝 阿星必背口诀:
负号就像向后转,一个转身方向反。
连续两个负号见,转来转去回正面。
先算数字定大小,再判方向是关键。
无论字母多变幻,法则在心永不乱。
🚀 举一反三:变式挑战
计算:a) \((-4) \times (-5)\) b) \((-1) \times (-7.2)\)
如果 \(a \times b = 12\),且 \(a\) 和 \(b\) 都是负数,那么 \((-a) \times (-b) = ?\)
化简:\(-[-2(a - b)] \times (- \frac{1}{2})\),并说明化简过程中发生了多少次“负负得正”。
解析与答案
【详尽解析】
变式一:
a) \((-4) \times (-5) = 20\)。数字4×5=20,两个负号“向后转再向后转”,方向为正。
b) \((-1) \times (-7.2) = 7.2\)。数字1×7.2=7.2,两个负号得正。
核心提示:直接应用口诀,先定大小,再判方向。
变式二:
答案是 \(12\)。
核心提示:逆向思维的妙用。已知a和b都是负数,那么(-a)和(-b)就都是正数(负负得正)。所以(-a)×(-b)其实就是两个正数相乘,积的符号为正。数字部分仍然是a和b的乘积12。也可以用比喻:a和b本身已经各自代表了一次“向后转”,加上括号外的负号,相当于对每个数都做了“向后转再向后转”,最终都归为正方向,乘积大小不变。
变式三:
化简结果:\(-(a - b)\) 或 \(-a + b\)。
核心提示:一步步拆解。
1. 内层:\(-2(a-b) = -2a + 2b\)(这里-2乘以括号是正负得负,没有发生负负得正)。
2. 中层:\(-[-2(a-b)] = -[-2a+2b] = 2a - 2b\)。这里发生了!括号外的“-”号对括号内的每一项作用:\(-(-2a) = +2a\)(一次负负得正),\(-(+2b) = -2b\)(只是正变负)。发生1次负负得正。
3. 外层:\((2a-2b) \times (-\frac{1}{2}) = 2a \times (-\frac{1}{2}) + (-2b) \times (-\frac{1}{2}) = -a + b\)。在计算\((-2b) \times (-\frac{1}{2})\)时,数字部分2b×1/2=b,符号部分两个负号,再次发生负负得正,得到+b。
总共发生了2次“负负得正”。
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