“时光倒流”破谜题！零基础搞定“多向还原”，看完就懂的神级指南：典型例题精讲
适用年级
奥数
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
好的，阿星同学，搬好小板凳，咱们今天不讲天书，就来聊聊这个听起来很唬人的「多向还原」。我会用你最能懂的方式，把它掰开揉碎了讲给你听。
💡 阿星起步：多向还原 的底层逻辑
想象一下这个场景：你和两个朋友（小甲、小乙）玩一个“传钱”游戏。钱一开始在谁手里你不知道，但你知道游戏规则：小甲先给一些钱给小乙，然后小乙又给一些钱给我，最后我又给了些钱给小甲。一通操作后，你们三人手里的钱数清清楚楚。
现在问题来了：游戏刚开始时，你们各自有多少钱？
你是不是懵了？钱转来转去，早乱套了！
这时，「多向还原」就是你的“时光机”。它的本质就一句话：从结局倒着往回推，让时间倒流。
“复杂的倒推”这个隐喻太精准了！就像电影倒放：最后我给小甲钱，那在“我给钱”这个动作发生之前，我和小甲的钱应该是多少？我们把这个状态记下来。然后再往前倒放“小乙给我钱”的动作… 一步步倒推回最初的样子。
为什么列表格？因为人脑记不住那么多变化啊！表格就像我们的“侦探案情板”，把每个时间点（动作前后）每个人的状态（钱数）清清楚楚钉在上面，逻辑一目了然，绝对不会乱。
所以，学它就是为了解决这类“过程很乱，但结果清晰，求最初状态”的谜题。它不是公式，而是一个清晰、不会出错的倒推思考框架。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】阿星、小甲、小乙三人有一些贴纸。阿星先给小甲10张；然后小甲给小乙15张；最后小乙给阿星8张。操作结束后，三人都有20张贴纸。请问最初他们各有多少张？
阿星拆解：记住我们的口诀：从后往前，逆向操作（加变减，减变加）。我们画一个表格来当“案情板”。
最终状态（结局）：阿星=20， 小甲=20， 小乙=20。
第一步倒推：最后一步是“小乙给阿星8张”。那在给之前呢？
阿星要先退回去这8张：20 - 8 = 12
小乙则会拿回这8张：20 + 8 = 28
（小甲没参与这一步，所以不变，还是20）
得到“第二步操作后”的状态：阿星=12， 小甲=20， 小乙=28
第二步倒推：上一步是“小甲给小乙15张”。那在给之前呢？
小甲要拿回这15张：20 + 15 = 35
小乙要退回去这15张：28 - 15 = 13
（阿星没参与这一步，不变，还是12）
得到“第一步操作后”的状态：阿星=12， 小甲=35， 小乙=13
第三步倒推：最开始是“阿星给小甲10张”。那在给之前呢？
阿星要拿回这10张：12 + 10 = 22
小甲要退回去这10张：35 - 10 = 25
（小乙没参与这一步，不变，还是13）
得到“最初状态”：阿星=22， 小甲=25， 小乙=13
大功告成！我们坐着“倒推时光机”回到了最初。
【进阶例题】一桶水，第一次倒出全部的一半多2升，第二次倒出余下的三分之一少1升，最后桶里还剩10升。请问这桶水原来有多少升？
阿星敲黑板：陷阱来了！“一半多2升”、“三分之一少1升”，这种描述在倒推时特别容易搞反！我们的对策是：倒推时，先把“多/少”的部分“还回去”，再做“乘/除”的逆运算。
最终状态（结局）：桶里剩 10 升。
我们倒着来，把水“收”回来。
第一步倒推：最后一次是“倒出余下的1/3 少 1 升”。意思是，它其实倒得比余下的1/3要少1升。那我们倒推“收回”时：
1. 先把那“少倒的1升”还给它：10 - 1 = 9 升 （注意是“减1”！因为当初少倒了1升，现在要补上这个“少”，桶里的水会变少）
2. 此时这9升，对应的是倒出1/3后剩下的部分，也就是原来的 (1 - 1/3) = 2/3。所以，在第二次倒水之前的水量是：9 ÷ (2/3) = 9 × (3/2) = 13.5 升。
第二步倒推：第一次是“倒出全部的一半多2升”。意思是，它倒得比一半还多2升。倒推收回：
1. 先把那“多倒的2升”还给它：13.5 + 2 = 15.5 升 （注意是“加2”！因为当初多倒了2升，现在要收回这“多”的部分）
2. 此时这15.5升，对应的是倒出一半后剩下的部分，也就是原来的 1/2。所以，最初的水量是：15.5 ÷ (1/2) = 15.5 × 2 = 31 升。
看，只要抓住“先还多/少，再逆运算”的顺序，陷阱就变成垫脚石了！
【拔高例题】书架上有上、中、下三层书。先从上层取走一半放入中层；然后从中层取走现有的一半放入下层；最后从下层取走15本放回上层。这时三层书都是45本。问最初每层各有多少本？
思维迁移：虽然场景从“给钱”“倒水”变成了“挪书”，但你看这个流程：上层→中层→下层→上层，是不是一个更复杂的“传递游戏”？内核一模一样：已知结局，倒推最初。我们的“列表格倒推法”依然无敌。
最终状态：上=45， 中=45， 下=45。
画表倒推：
1. 最后一步：“从下层取走15本放回上层”。倒推：
上层要退回15本：45 - 15 = 30
下层要拿回15本：45 + 15 = 60
中层不变=45
得到“第二步后”状态：上=30， 中=45， 下=60
2. 上一步：“从中层取走现有的一半放入下层”。注意是取走“一半”！倒推时，下层要先退回从中层得到的那一半书。
中层当前45本，是被人拿走一半后剩下的，所以拿走前是：45 × 2 = 90 本。
中层被拿走了多少？90 - 45 = 45 本。这45本被放入了下层。
所以，在下层收到这45本之前，它应该有：60 - 45 = 15 本。
上层不变=30。
得到“第一步后”状态：上=30， 中=90， 下=15
3. 第一步：“从上层取走一半放入中层”。倒推：
中层当前90本，里面有从上层得到的一半书。中层原来有多少？90 - （上层给出的一半）= ？
上层当前30本，是被人拿走一半后剩下的，所以拿走前是：30 × 2 = 60 本。
上层给出了多少？60的一半，即 60 ÷ 2 = 30 本。
所以，在中层收到这30本之前，它应该有：90 - 30 = 60 本。
下层不变=15。
得到“最初状态”：上=60， 中=60， 下=15
看，只要步骤清晰，再复杂的传递链，我们也能用“时光倒流法”理得明明白白！
📝 阿星必背口诀：
多向还原莫要慌，倒推列表是良方。
从后往前一步步，加减互逆乘除抗。
遇“多”先加“少”先减，再看分数对谁讲。
逻辑清晰步步营，最初状态现真相。
🚀 举一反三：变式挑战
甲乙丙三人的积分。甲给乙50分，乙给丙30分，丙又给甲20分。结束后三人都是200分。最初各有多少分？
一个数，加上5，乘以3，再减去10，最后等于20。这个数原来是多少？（试试倒推法）
三堆糖果，先从第一堆拿一半到第二堆，再从第二堆（拿完后）拿一半到第三堆，最后从第三堆拿20颗放回第一堆。这时三堆都是80颗。求最初三堆的糖果数。
解析与答案
【详尽解析】
入门例题答案：阿星 \(22\) 张， 小甲 \(25\) 张， 小乙 \(13\) 张。（过程见上方拆解）
进阶例题答案：原来有 \(31\) 升水。（过程见上方敲黑板）
拔高例题答案：上层 \(60\) 本， 中层 \(60\) 本， 下层 \(15\) 本。（过程见上方思维迁移）
变式挑战解析：
- 变式一：纯流程模仿。最终200分。倒推：丙给甲20分前：甲=180，丙=220，乙=200；乙给丙30分前：乙=230，丙=190，甲=180；甲给乙50分前：甲=230，乙=180，丙=190。答案：甲 \(230\)， 乙 \(180\)， 丙 \(190\)。
- 变式二：单一路线倒推。20 + 10 = 30；30 ÷ 3 = 10；10 - 5 = 5。答案：原数是 \(5\)。
- 变式三：综合应用。结局都是80颗。倒推：第三堆拿20颗给第一堆前：第一堆=60，第三堆=100，第二堆=80；第二堆拿一半给第三堆前：第二堆=160，第三堆=100-80=20，第一堆=60；第一堆拿一半给第二堆前：第一堆=120，第二堆=160-60=100，第三堆=20。答案：第一堆 \(120\) 颗，第二堆 \(100\) 颗，第三堆 \(20\) 颗。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF