蒙特卡洛方法：从“投针算π”到万能估算的数学魔法

💡 阿星精讲：蒙特卡洛 的本质

想象一下，你手握一把小针，随意地扔向画满平行线的地板。你只需要数一数有多少根针碰到了线，就能神奇地推算出圆周率 \( \pi \) 的近似值——这就是著名的布丰投针实验。它像一座桥梁，一端连着看似毫无规律的“随机概率”（针落在哪），另一端连着精确完美的“几何形状”（平行线的间距 \( a \) 与针长 \( l \) 的关系）。蒙特卡洛方法的本质，正是这种“用随机性解决确定性问题”的智慧。它不追求一步到位的精确解，而是通过大量重复的随机抽样（“扔针”或“投点”），用统计结果去逼近我们想要求的面积、体积、积分甚至π值。其核心公式往往形如：
目标值 ≈ 已知区域的测度 × (落在目标内的样本数 / 总样本数)。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \( \pi \approx 4 \times \frac{M}{N} \) 。推导过程见阿星拆解。

变式一解析：
矩形面积 \( S_{rect} = 6 \times 4 = 24 \) 作为已知测度。
点落入曲边梯形下方的频率为 \( \frac{M}{N} = \frac{3270}{10000} = 0.327 \)。
因此，曲边梯形面积 \( S \approx S_{rect} \times \frac{M}{N} = 24 \times 0.327 = 7.848 \)。

变式二解析：
相对误差 < \( 1\% \) 意味着绝对误差 \( \epsilon < 0.01 \times \pi R^2 \)。但更通用的考虑是频率 \( p = \frac{M}{N} \) 的标准差约为 \( \sqrt{\frac{p(1-p)}{N}} \)。
由 \( \frac{M}{N} = 0.78 \)， 知 \( p \approx 0.78 \)。其标准差 \( \sigma_p \approx \sqrt{\frac{0.78 \times 0.22}{N}} = \sqrt{\frac{0.1716}{N}} \)。
要求 \( \frac{\sigma_p}{p} < 0.01 \)，即 \( \frac{\sqrt{0.1716/N}}{0.78} < 0.01 \)。
解得 \( N > \frac{0.1716}{(0.78 \times 0.01)^2} = \frac{0.1716}{0.00006084} \approx 2821 \)。故至少需要约 \( 3000 \) 次投掷。

变式三解析：
证明： 设针中点距离最近平行线的距离为 \( x \) (\( 0 \le x \le a/2 \))，针与平行线的夹角为 \( \theta \) (\( 0 \le \theta \le \pi/2 \))。针与线相交的条件是 \( x \le \frac{l}{2} \sin\theta \)。在 \( x-\theta \) 平面上，样本空间面积为 \( \frac{a}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi a}{4} \)，事件“相交”的区域面积为 \( \int_{0}^{\pi/2} \frac{l}{2} \sin\theta \, d\theta = \frac{l}{2} \)。故概率 \( P = \frac{l/2}{\pi a / 4} = \frac{2l}{\pi a} \)。
估算： 由 \( P = \frac{M}{N} = \frac{398}{2000} = 0.199 \)，且 \( P = \frac{2l}{\pi a} = \frac{5}{\pi \times 4} = \frac{5}{4\pi} \)。
故 \( \frac{5}{4\pi} \approx 0.199 \)，解得 \( \pi \approx \frac{5}{4 \times 0.199} \approx \frac{5}{0.796} \approx 6.28 \)。
对比： 此估计 (\( \pi \approx 6.28 \)) 与真实值偏差较大，这是因为实验次数 \( N=2000 \) 对于布丰投针而言仍显不足，收敛速度较慢。而经典例题的“撒点法”在相同次数下通常能获得更稳定的估计。这体现了不同蒙特卡洛模型在方差（即收敛效率）上的差异。