💡 阿星精讲：货币乘数的本质

大家好，我是阿星！今天我们不把银行看作一个存钱的“仓库”，而是一个神奇的“钱放大器”。

想象一下：中央银行（比如央行）向经济中投入了100元基础货币。这100元被某人存入A银行。A银行并不能把这100元都锁在金库里，它只需要按中央银行规定的比例（比如10%）留出一部分作为存款准备金，剩下的90元就可以贷款给另一个人。

拿到90元贷款的人，很可能又把这笔钱存入B银行（或支付给他人后最终存入）。B银行同样留下10%（9元）作准备金，把剩下的81元贷出去……这个过程会像接力赛一样，一次又一次地重复下去。

最初那100元存款，就像投入湖面的第一颗石子，激起的涟漪（新存款）一轮轮扩散。最终，整个银行体系里所有银行存款的总和，会远远超过最初的100元。这个“放大倍数”就是货币乘数。

用数学的语言来说，这就是一个无穷等比级数求和的过程：
设初始存款为 \( D \)，法定存款准备金率为 \( r \)（这里 \( r = 10\% = 0.1 \)）。
那么存款创造的序列是：
第一轮：\( D = 100 \)
第二轮：\( D(1 - r) = 100 \times 0.9 = 90 \)
第三轮：\( D(1 - r)^2 = 100 \times 0.9^2 = 81 \)
...
总存款 = \( D + D(1-r) + D(1-r)^2 + ... \)

根据无穷等比级数求和公式 \( S = \frac{a_1}{1 - q} \)，这里首项 \( a_1 = D \)，公比 \( q = 1 - r \)。
所以，存款总额 = \( \frac{D}{1 - (1 - r)} = \frac{D}{r} \)。

看！最初的 \( 100 \) 元存款，在 \( r = 10\% \) 的条件下，最终理论上能创造出 \( \frac{100}{0.1} = 1000 \) 元的总存款！银行真是一个“钱的放大器”。而货币乘数 \( m \) 的基本公式就是 \( m = \frac{1}{r} \)。

---

🔥 经典例题精析

---

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：
货币乘数 \( m = \frac{1}{0.15} \approx 6.67 \)。
新创造的存款货币 = \( \frac{500}{0.15} - 500 \approx 3333.33 - 500 = 2833.33 \) 亿元。

举一反三解析：

变式一：
1. 货币乘数 \( m = \frac{1}{0.1} = 10 \)。
2. 存款总额 = \( \frac{500}{0.1} = 5000 \) 亿元。
3. 说明： 降低准备金率会使货币乘数增大，银行体系的货币创造能力增强。这是一种扩张性（宽松）的货币政策，旨在向经济中注入更多流动性，刺激投资和消费。

变式二（逆向思维）：
1. 由 \( m = \frac{1}{r} = 5 \)，可解得 \( r = \frac{1}{5} = 0.2 = 20\% \)。
2. 存款总额 = \( \frac{\text{初始存款}}{r} \)，即 \( 4000 = \frac{\text{初始存款}}{0.2} \)。
解得：初始存款（需注入的基础货币）= \( 4000 \times 0.2 = 800 \) 亿元。

变式三（综合拔高）：
1. 计算新乘数：\( c = 5\% = 0.05, r = 0.15 \)。
\( m’ = \frac{1 + c}{r + c} = \frac{1 + 0.05}{0.15 + 0.05} = \frac{1.05}{0.2} = 5.25 \)。
2. 存款创造总额：这里的“基础货币”包括存款准备金和流通中现金。更精确的计算是：
存款总额 = 初始基础货币 × 存款部分的乘数。
存款部分的乘数 = \( \frac{1}{r + c} = \frac{1}{0.2} = 5 \)。
因此，存款总额 = \( 500 \times 5 = 2500 \) 亿元。
3. 对比与解释： 简化模型下存款总额为 \( 3333.33 \) 亿元。引入现金漏损后，总额降至 \( 2500 \) 亿元。因为有一部分资金（现金）退出了银行系统的存贷循环，就像放大器出现了“能量泄漏”，削弱了货币创造能力，使得货币乘数从 \( 6.67 \) 下降至 \( 5.25 \)。这更贴近现实情况。