随机策略：用「不可预测性」打造最优防守

💡 阿星精讲：随机策略 的本质

想象一下，你在和对手玩剪刀石头布。如果你每次都出剪刀，对手很快就会发现规律，然后一直出石头来打败你。这就是“可预测”的代价！真正的智慧在于，让你的选择变得不可预测。这并非胡乱出拳，而是像一位深谋远虑的将军，让自己的战术（出剪刀、石头、布的概率）符合一个精心设计的随机分布（例如各 \( \frac{1}{3} \)），使得对手无论采取什么固定策略，都无法在长期中占到便宜。在数学上，这被称为混合策略纳什均衡。它的核心思想是：让自己的行为随机化，从而不被对手针对，这是最高明的防守，也是进攻的基石。我们通过设定概率变量（如 \( p, q \)），并令对手针对你的任一“纯策略”的期望收益相等，来求解这个最优的随机配方。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案： \( p = \frac{1}{2} \)。

解析：见上方阿星拆解。

变式一解析：

设A选 \( H_A \) 的概率为 \( p \)。

当B选 \( H_B \): \( E_A(H_B) = 6p + 2(1-p) = 4p + 2 \)

当B选 \( L_B \): \( E_A(L_B) = 0p + 4(1-p) = 4 - 4p \)

令 \( 4p + 2 = 4 - 4p \)，解得 \( 8p = 2 \)，即 \( p = \frac{1}{4} \)。

所以，A应以 \( \frac{1}{4} \) 的概率定高价，以 \( \frac{3}{4} \) 的概率定低价。

变式二解析：

设A的收益矩阵为：
\[ \begin{array}{c|cc} & L & R \\ \hline I & a & b \\ D & c & d \\ \end{array} \]
已知B的均衡混合策略为 \( (q, 1-q) = (0.6, 0.4) \)。在均衡时，A选择 \( I \) 和 \( D \) 的期望收益应相等（否则A会改变策略）。

即：\( 0.6a + 0.4b = 0.6c + 0.4d \)。

我们还需满足经典例题中的条件：当A按 \( p=0.5 \) 混合时，B对 \( L \) 和 \( R \) 无差异。

即：\( 0.5a + 0.5c = 0.5b + 0.5d \) => \( a + c = b + d \)。

取一组简单解：令 \( a=4, b=1, c=2 \)，则由 \( a+c=6 \) 得 \( b+d=6 \)，所以 \( d=5 \)。这恰好是原矩阵。验证：\( 0.6*4+0.4*1=2.8 \)，\( 0.6*2+0.4*5=3.2 \)，两者不等，说明若B以 \( (0.6,0.4) \) 混合，A会倾向于选D（收益3.2>2.8），从而破坏均衡。因此，给定B的混合策略，原矩阵的均衡中A的策略通常不是 \( p=0.5 \)，除非特别设计。本题意在启发对均衡相互依赖性的思考。

变式三解析：

设玩家1以概率 \( (p_S, p_R, p_P) \) 混合，且 \( p_S+p_R+p_P=1 \)。根据对称性，只需考虑玩家2固定一个纯策略（如石头 \( R \)）时，玩家1的期望收益。

玩家1的期望收益 \( E_1 \) 当玩家2出 \( R \) 时：
\[ E_1 = p_S \times (-1) + p_R \times 0 + p_P \times 1 = -p_S + p_P \]

在均衡中，玩家1选择 \( S, R, P \) 的期望收益必须相等（否则他会调整概率）。因此，当对手以均衡策略混合时，有：
\[ -p_S + p_P = p_S - p_R = -p_P + p_R \]

由 \( -p_S + p_P = p_S - p_R \) 得 \( 2p_S = p_P + p_R \)。

由 \( p_S - p_R = -p_P + p_R \) 得 \( p_S + p_P = 2p_R \)。

结合 \( p_S+p_R+p_P=1 \)，可解得 \( p_S = p_R = p_P = \frac{1}{3} \)。同理，对手的策略亦然。因此，唯一的对称混合策略均衡是双方均随机化选择，概率各为 \( \frac{1}{3} \)。