💡 阿星精讲：真理永恒 的本质

嘿，同学！我们常说“真理永恒”，在数学世界里，这意味着什么？就像阿星引用的那个绝妙的比喻：超越时空。帝国会崩塌，恒星会熄灭，但勾股定理 \(a^2+b^2=c^2\) 在 100 亿年前和 100 亿年后，在地球和仙女座，永远成立。

这揭示了一个深刻的数学思想：特定对象（如数字、图形）会变化，但它们之间的“关系”和“规律”是永恒不变的。一个比例关系 \( \frac{a}{b} = k \) ，无论 \(a\) 和 \(b\) 代表的是古埃及金字塔的边长，还是未来星际飞船的航速比，这个比例 \(k\) 一旦确定，就永远不会失效。今天，我们就通过一个关于“永恒比例”的经典模型，来掌握这种洞察力。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题：
(1) 设 \(y = kx\)，代入 \(x=2, y=8\) 得 \(8=2k\)，故 \(k=4\)。关系式为 \(y = 4x\)。
(2) 当 \(x=5\) 时，\(y=4 \times 5 = 20\)。
(3) 当 \(y=20\) 时，\(20 = 4x\)，解得 \(x=5\)。

变式一：
(1) 由 \(m = ρV\)，代入 \(V=3, m=27\) 得 \(27 = 3ρ\)，故 \(ρ=9\)。关系式为 \(m = 9V\)。
(2) 当 \(V=10\) 时，\(m = 9 \times 10 = 90\) (克)。

变式二：
(1) 设 \(ΔL = kF\)，代入 \(F=8, ΔL=2\) 得 \(2 = 8k\)，故 \(k = \frac{1}{4}\)。关系式为 \(ΔL = \frac{1}{4}F\)。
(2) 当 \(ΔL = 5\) 时，\(5 = \frac{1}{4}F\)，解得 \(F = 20\) (牛顿)。

变式三：
(1) 由三角形面积公式 \(S = \frac{1}{2}ah\)。本题中面积 \(S=24\) 是定值，所以 \(\frac{1}{2}ah = 24\)，即 \(ah = 48\)。因此，底 \(a\) 与高 \(h\) 成反比例关系，关系式为 \(a = \frac{48}{h}\) 或 \(h = \frac{48}{a}\)。
(2) 当 \(a = BC = 8\) 时，代入 \(ah=48\) 得 \(8h=48\)，解得 \(h=6\) (厘米)。