别再当“无头苍蝇”！数学家的寻物攻略：用螺旋线与扇形搜索，效率提升300%：典型例题精讲

答案与解析

经典例题答案： 至少需要 \( 6 \) 个扇区。

变式一解析：
根据提示，螺旋线近似总路径长 \( L \approx \frac{\pi R^2}{w} = \frac{\pi \times 50^2}{2} = 1250\pi \approx 3927 \) 米。
可用时间 \( t = 1800 \) 秒，速度 \( v = 1 \) 米/秒，因此可走最大路径长 \( L_{max} = v t = 1800 \) 米。
因为 \( L_{max} < L \)，说明无法在预定时间内“严密”扫完全部面积，只能进行初步（较稀疏）扫描。螺旋线间距大致等于搜索宽度 \( w' \)。由关系 \( L' \approx \frac{\pi R^2}{w'} \leq 1800 \)，得 \( w' \geq \frac{2500\pi}{1800} \approx \frac{7854}{1800} \approx 4.36 \) 米。 所以，他需要将螺旋线间距（即有效搜索宽度）设定为至少约 \( 4.36 \) 米，对应的参数 \( a = \frac{w’}{2\pi} \approx 0.69 \)。

变式二解析：
设原半径 \( r \)，原速度 \( v \)。原任务：扫描面积 \( 0.8 \times \pi r^2 \)，时间 \( 4 \) 小时。
新半径 \( r' = 1.5r \)，新区域总面积 \( \pi (1.5r)^2 = 2.25 \pi r^2 \)。
需要扫描的新面积 \( 0.8 \times 2.25 \pi r^2 = 1.8 \pi r^2 \)。
新速度 \( v' = 0.9v \)。
搜索时间 \( t \) 与 (扫描面积 / 搜索速度) 成正比（假设搜索宽度不变）。
因此，\( \frac{t_{新}}{4} = \frac{1.8 \pi r^2 / (0.9v)}{0.8 \pi r^2 / v} = \frac{1.8 / 0.9}{0.8} = \frac{2}{0.8} = 2.5 \)。
所以，\( t_{新} = 4 \times 2.5 = 10 \) 小时。

变式三解析：
走完螺旋线覆盖整个圆，总路径长 \( L \approx \frac{\pi R^2}{w} \)。总用时 \( T = \frac{L}{v} = \frac{\pi R^2}{w v} \)。
由 \( v \cdot w = k \)，得 \( w = \frac{k}{v} \)，代入上式：\( T = \frac{\pi R^2}{k / v \cdot v} = \frac{\pi R^2 v}{k v} \)？这推导有问题。
正确推导：\( T = \frac{L}{v} \approx \frac{\pi R^2}{w} \cdot \frac{1}{v} = \frac{\pi R^2}{w v} = \frac{\pi R^2}{k} \)。
这个结果很有趣：总用时 \( T \) 只与常数 \( k \) 和面积 \( \pi R^2 \) 有关，与螺旋线参数 \( a \)、即时速度 \( v \)、即时宽度 \( w \) 均无关！只要 \( v \cdot w = k \) 恒成立，无论怎么走，扫完固定面积的时间是常数。
因此，若想将用时减半，在 \( R \) 不变的情况下，必须改变 \( v \cdot w = k \) 这个关系，即需要提升设备性能（增大 \( k \) 值）。原题设条件下，仅调整参数 \( a \) 无法缩短总时间。这是一个深刻的优化问题启示。