小学数学最值问题怎么解？一张图看懂“阿星法则” | 图解奥数：典型例题精讲
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最近更新
2025-12-20
最值问题：像分蛋糕一样思考“最大”与“最小”
💡 阿星解密：为什么公式长这样？
想象一下，你有一块固定大小的蛋糕，要分给几个人。如果你想让你自己分到最多，那该怎么办？很简单，让其他人都只拿最小最小的一块！反过来，如果你想让自己拿得最少，那就让其他人尽量拿最大的那块。
这就是“最值问题”的灵魂：在总和固定的情况下，求其中一个数的最大值或最小值。 解题的万能钥匙就是：“阿星法则”——求谁的最值，就让“其他的”数尽可能取它们能取的极端值。
👀 看图说话：总和固定，如何让“阿星”最大？
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[//]: # (SVG代码块结束)
关键点拨：图中的“其他数”被我们设定为可能的最小值（1，2，3）。当它们被“压到最矮”，剩下的空间（红色柱子）自然就达到了最大值。那个容易被忽略的“隐形数字”就是题目对其他数设定的“最小可能值”（例如：是“自然数”则最小为0，是“不同正整数”则最小为1、2、3...）。确认这个起点，是解题的第一步。
🔥 三级跳挑战：从陷阱到精通
【母题演示】三个各不相同的正整数之和是10，其中最大的数最大可能是多少？
阿星的显微镜
目标：求最大数的最大值。
口诀：求最大，其他最小。
为了让最大的数尽可能大，另外两个数必须尽可能小。
“各不相同”且是“正整数”，最小的两个数是1和2。
标准算式：\( 10 - 1 - 2 = 7 \)
答：最大的数最大是7。
【易错陷阱】三个各不相同的自然数之和是10，其中最大的数最大可能是多少？（提示：自然数包括0）
阿星的避雷针：
大多数人会怎么错：惯性思维，依然用 \( 10 - 1 - 2 = 7 \)。
图解陷阱：看！“自然数”包括0，图中“其他数”的起点可以是0和1，而不是1和2。柱子可以从更矮的地方开始。
正确思路：应用“阿星法则”——求最大，其他最小。“自然数”中最小的两个是0和1。因此，\( 10 - 0 - 1 = 9 \)。
答：最大的数最大是9。
【高手进阶】妈妈用100元给五个孩子发红包，每人得到的钱数都是整数元，且互不相同。得到最少的小明，最多能得到多少元？
思维迁移：问题变成了求最小数的最大值。这是“最值问题”中的另一个经典类型。口诀要变了：求最小，其他最大。 为了让小明（最小数）尽可能多，其他四个人的钱要尽可能多，但又要“互不相同”。所以，我们让其他四人尽可能大地按顺序取：比小明多的钱数分别是小明+1， 小明+2， 小明+3， 小明+4。
列方程：
设小明得 \( x \) 元。
则总钱数：\( x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) \leq 100 \)
\( 5x + 10 \leq 100 \)
\( 5x \leq 90 \)
\( x \leq 18 \)
答：小明最多能得到18元。（此时总钱数为 \(18+19+20+21+22=100\)，刚好用完。）
📝 阿星的定海神针（口诀）：
总和固定求最值，阿星法则记心里：
求最大，其他最小往前排；
求最小，其他最大往前排。
“其他”极限在哪里？题目条件定起点！
🚀 举一反三：巩固练习
五个连续自然数的和是30，其中最大的数是多少？
（陷阱题）在1到100这100个自然数中，任选10个不同的数，其中最小的数最小可能是几？
（生活应用）一次数学测验，全班平均分是85分。已知男生有20人，平均分83分。要想让女生的平均分最高，女生的人数应该尽可能多还是少？为什么？（假设女生平均分高于85）
📚 答案与解析
【答案速查】
- 练习一： 8。（解析：设最小的数为x，则五个数为x, x+1, x+2, x+3, x+4。和为5x+10=30，解得x=4，最大数为4+4=8。）
- 练习二： 1。（解析：陷阱识别：求“最小的数”的“最小值”。应用口诀“求最小，其他最大”吗？不！这里的“其他”我们无法控制，题目是“任选”。我们要让最小的数尽可能小，那直接选能选的最小的数就好了，即1。关键是要看清问题是否在“总和或平均数固定”的条件下，本题没有，所以是简单选取问题。）
- 练习三： 女生人数应尽可能少。（解析：全班总分固定（=人数×85）。男生总分固定（=20×83）。女生平均分 = (全班总分 - 男生总分) / 女生人数。分子固定，要使分数值（女生平均分）最大，分母（女生人数）就要尽可能小。）
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