数三角形总漏数？3步“有序寻宝法”让你一眼看穿，秒变几何高手！：典型例题精讲
适用年级
三年级
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
PDF 可打印
最近更新
2025-12-20
「数三角形」不重不漏秘籍：像搭积木一样有序思考
💡 阿星起步：数三角形 的底层逻辑
想象一下，你面前有一堆积木，其中有一些单个的三角形积木，还有一些是两个、三个甚至更多小三角形拼成的大三角形积木。你的任务是把所有不同大小的三角形都数出来。
如果你东数一个，西数一个，肯定会数晕——要么把同一个数了两次（“重”了），要么漏掉几个没看见（“漏”了）。
所以，高手数三角形，就像玩一个有条理的寻宝游戏：
1. 第一轮：只找最小的、不能再分割的“单个三角形”。把它们全找出来，数清楚。假设找到了 \( a \) 个。
2. 第二轮：找那些由两个“单个三角形”拼成的、稍大一点的三角形。再数清楚。假设找到了 \( b \) 个。
3. 第三轮：找由三个“单个三角形”拼成的更大的三角形……
就这样，一轮一轮，从最小的数到最大的。
这就是「不重不漏」的精髓：按大小（或组成的块数）设定一个“搜索顺序”，然后严格地一轮一轮数下去。 学这个，不是为了数三角形本身，而是为了养成一种有序、严谨的思考习惯。这种习惯，将来解任何复杂问题都用得上！
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】数一数，下面的图形中一共有多少个三角形？
/ \
/ \
/____\
/ \ / \
/ \ / \
/____\/____\
（这是一个大三角形，里面画了一条连接顶点和对边中点的线，把它分成了两个小三角形）
阿星拆解：
我们开始“有序寻宝”。
第一轮：找最小的“单个三角形”。
看图形，最小的三角形就是那两个被分出来的小三角形。我们数一下：左边1个，右边1个。所以，最小的三角形有 \( 2 \) 个。
第二轮：找由“单个三角形”拼成的大三角形。
现在看看，有没有三角形是由刚才那两个小三角形拼起来的？有！整个大三角形就是由左、右两个小三角形拼成的。所以，这算1个更大的三角形。
最后，我们把两轮的“战果”加起来：
最小的三角形 \( 2 \) 个 + 拼起来的大三角形 \( 1 \) 个 = 总共 \( 3 \) 个三角形。
【进阶例题】数一数，下图中共有多少个三角形？
A
/ \
/ \
/_____\
B C
| \
| \
| \
D E
（三角形ABC，从顶点A到底边BC有一条中线AD，同时从C点向AB边（未画出）引了一条线段CE，交AD于O点，这里关键是点E在AB边上）
阿星敲黑板：
这道题的陷阱在于：图形被分割得更碎了，而且线交叉产生了新的、容易被漏掉的小三角形！我们不能只看大块。
依然坚持“有序寻宝”：
第一轮：数最小的三角形。
现在图形被分成了4个最小区域：△AOE, △EOD, △ODC, △BOD。我们来确认一下：
1. △AOE (顶点A, O, E)
2. △EOD (顶点E, O, D)
3. △ODC (顶点O, D, C)
4. △BOD (顶点B, O, D)
看，是不是4个最小的？没错。所以，最小的三角形有 \( 4 \) 个。
第二轮：数由两个小三角形拼成的三角形。
看看哪两个小三角形能拼成一个新三角形？
- △AOE 和 △EOD 能拼成 △AED。
- △EOD 和 △ODC 能拼成 △EDC。
- △BOD 和 △ODC 能拼成 △BDC。
- △AOE 和... 等等，△AOE和△BOD不挨着，拼不了。
所以，两个拼成的有 \( 3 \) 个 (△AED, △EDC, △BDC)。
第三轮：数由三个或更多小三角形拼成的三角形。
- △AOE, △EOD, △BOD 能拼成 △ABD 吗？不能，因为它们没组成一个封闭的、只含这三个的三角形。
- 那我们看看更大的：△AOE, △EOD, △ODC 能拼成 △ADC 吗？对！拼成了△ADC。
- △EOD, △ODC, △BOD 能拼成 △EBC 吗？不对，形状不对。
- 再看看整个图形：△ABC 是由所有4个小三角形（△AOE, △EOD, △ODC, △BOD）拼成的。
所以，这一轮我们找到了：△ADC (3个小块) 和 △ABC (4个小块)，共 \( 2 \) 个。
最后，汇总所有轮次的战果：
第一轮: \( 4 \) 个
第二轮: \( 3 \) 个
第三轮: \( 2 \) 个
总计：\( 4 + 3 + 2 = 9 \) 个三角形。
【拔高例题】在一个2x2的等边三角形网格中（如下图所示，一个大的等边三角形被均分成4个小等边三角形），图中包含多少个等边三角形？（注意：大小不同，方向可能不同）
/ \
/ \
/ \
/______\
/ \ / \
/ \ / \
\ / \ /
\ /___\ /
\ / \ /
\ / \ /
\/_____\/
（提示：这是一个经典题型，小三角形们还组成了许多“头朝下”的三角形）
思维迁移：
场景变了，从简单分割变成了“网格”，但“有序计数，不重不漏”的黄金法则丝毫没变！我们只需把“大小”的标准定义得更清晰。
我们的“寻宝顺序”可以按照三角形的边长（或占最小三角形的个数）来定。
第一轮：数边长为“1个最小单元”的三角形。
这种就是最小的正三角形。我们数“头朝上”的：第一层1个，第二层2个，第三层1个？不对，仔细看网格，第三层（最底层）有3个最小的正三角形吗？让我们系统地数：整个图形可以看成3行小三角形。
头朝上的：第一行1个，第二行2个，第三行？第三行是最大的三角形的底边，最小的头朝上三角形只有1个（在正中间）。等一下，我们重新审视：一个2x2的三角形网格，意味着大三角形每条边被分成2段。最小的正三角形（头朝上）一共是：\( 1 + 2 + 1 = 4 \) 个。
还有“头朝下”的！最小的头朝下三角形在哪里？它们出现在第二层，有1个。所以，边长为1的三角形总数为：头朝上4个 + 头朝下1个 = \( 5 \) 个。
第二轮：数边长为“2个最小单元”的三角形。
这种三角形需要由4个小三角形拼成。
头朝上的：最大的那个就是！它边长为2，占据了整个图形，有1个。
头朝下的：有吗？观察一下，在图形的中间区域，可以找到一个边长为2但头朝下的三角形吗？找不到，因为网格不够大。
所以，边长为2的三角形只有 \( 1 \) 个（头朝上）。
没有边长为3或更大的了。
最终合计：边长为1的 \( 5 \) 个 + 边长为2的 \( 1 \) 个 = 总共 \( 6 \) 个等边三角形。
看，虽然图形复杂了，出现了不同方向的三角形，但只要我们坚持“定好标准（边长/方向），一轮一轮数”，再复杂的图形也能理清！
📝 阿星必背口诀：
数三角形不用慌，有序思考是良方。
先数最小基础块，再找拼合成一双。
由小到大层层搜，不重不漏最在行！
🚀 举一反三：变式挑战
数一数下图中有几个三角形？
（图形：一个长方形被两条对角线分割）
如果一个图形被分割后，数出最小的三角形有6个，由两个小三角形拼成的有7个，由三个拼成的有2个，由六个拼成的有1个。那么这个图形里总共有多少个三角形？
数一数下面这个“三角形套正方形”图形中有多少个三角形？
（图形：一个等腰直角三角形，其斜边上的高将三角形分成两部分，在较小的那个直角三角形内画一个正方形，正方形的顶点分别在三角形的两条直角边和斜边上。）
解析与答案
【详尽解析】
变式一（模仿练习）解析：
长方形被两条对角线分割，会交叉于中心点。
第一轮：最小的三角形。以长方形的中心为顶点，与长方形相邻两边构成的小三角形。共有 \( 4 \) 个。
第二轮：由两个小三角形拼成的三角形。即长方形的“一半”。有 \( 4 \) 个。
第三轮：由四个小三角形拼成的三角形。即整个长方形本身吗？不，长方形不是三角形。但两条对角线把长方形分成了4个小三角形，并没有组成更大的三角形。所以是 \( 0 \) 个。
总计：\( 4 + 4 = 8 \) 个三角形。
答案：\( 8 \) 个。
变式二（逆向思维）解析：
这题直接应用有序分类的求和思想。题目已经帮我们分好类了。
总三角形数 = 最小的(6个) + 两个拼的(7个) + 三个拼的(2个) + 六个拼的(1个)
所以总数 = \( 6 + 7 + 2 + 1 = 16 \)。
答案：\( 16 \) 个。
变式三（综合挑战）核心提示：
图形关键点在“正方形”内部会形成新的交叉线。一定要从最基本的、不再内部交叉的最小区域开始数。
1. 首先，大等腰直角三角形被高线分成了两个小直角三角形。
2. 在其中一个（较小）的直角三角形内，正方形又引出了新的线段，与三角形的边会构成新的交点，从而将这个小直角三角形进一步分割成更小的图形（包括三角形和小四边形）。
3. 核心步骤：耐心地标出所有交点，从图形中被划分出的最小封闭区域开始识别哪些是三角形。这些最小三角形可能比正方形的一半还要小。
4. 然后，再考虑这些最小三角形拼合成的稍大三角形。
（此题难度较高，旨在训练极端情况下的有序观察力，具体数量取决于图形的精确画法，常见答案为 \( 10 \) 到 \( 12 \) 个左右，此处不设固定答案，重点在于体验分类过程）。
PDF 典型例题打印版
为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF