阿星拆解：这是最标准的柳卡图应用场景——“数交点”。

第一步：画坐标轴。横轴是时间\(t\)（秒），竖轴是位置\(s\)（米）。我们把A点设为\(s=0\)，B点设为\(s=90\)。

第二步：画甲的运动线。甲从\(s=0\)出发，向B点跑。他的“斜率”（陡峭程度）代表速度。跑完全程\(90\)米需要 \(90 \div 3 = 30\) 秒。所以他在\(t=30\)秒时到达B点（\(s=90\)），然后立刻折返，向下斜着跑回A点，又需要\(30\)秒，在\(t=60\)秒时回到A点。如此反复，画出一条连续的“锯齿形”折线。

第三步：画乙的运动线。乙从\(s=90\)出发，向A点跑。速度\(2\)米/秒，跑完全程需要 \(90 \div 2 = 45\) 秒。所以他在\(t=45\)秒时到达A点（\(s=0\)），然后折返向上，在\(t=90\)秒时回到B点。也画出一条连续的“锯齿形”折线。

第四步：关键！找规律。我们把两条折线画在一起，观察它们的交点。可以发现，在第一个“公共周期”（即甲、乙都回到各自起点所需的时间，这里是\(180\)秒和\(90\)秒的最小公倍数\(180\)秒）内，两条线会相交很多次。

更简单的算法：**对于这种“端到端”的多次往返问题，柳卡有一个经典结论：在第一个完整周期内，相遇次数 = 速度之和 ÷ 单程距离 × 周期时间 ÷ 2？不，更直接的方法是：总相遇次数 ≈ (甲跑的趟数 + 乙跑的趟数) - 1。 但最通用、最不易错的方法还是——画图看交点！ 对于本题，我们可以计算在\(180\)秒内，甲跑了 \(180 \div 60 = 3\)个来回（6个单程），乙跑了 \(180 \div 90 = 2\)个来回（4个单程）。他们在图中会形成一系列规则的交点。

经过观察（或推导公式），可以发现，从开始到第\(N\)次相遇所需时间 \(t_N = \frac{(2N-1) \times S}{v_1 + v_2}\)，其中\(S=90\)米，\(v_1+v_2=5\)米/秒。这个公式怎么来的？ 其实就是把两人想象成从两端相向而行，他们共同走完第1个单程相遇1次，共同走完3个单程相遇2次……共同走完\((2N-1)\)个单程相遇\(N\)次。总路程是\((2N-1)S\)，速度和是\(v_1+v_2\)。

第五步：代入计算。求第10次相遇的时间：\(t_{10} = \frac{(2\times10-1) \times 90}{3+2} = \frac{19 \times 90}{5} = \frac{1710}{5} = 342\)秒。

阿星敲黑板：陷阱来了！两人不是同时出发。如果你套用刚才的公式，直接算第2次相遇，一定会错！柳卡图法的优势就在这里，它能清晰处理这种“不同时”的情况。

第一步：画坐标轴。横轴时间\(t\)（分），竖轴位置\(s\)（米）。A为0，B为1800。

第二步：画甲的线。甲从\(t=0\)，\(s=0\)出发。他的周期是 \(1800 \div 60 = 30\)分钟（单程）。所以他的折线在\(t=30\)分时到B点，\(t=60\)分时回到A点。

第三步：画乙的线。注意！乙从\(t=20\)分时才开始运动，起点是\(s=1800\)。所以他的线是从点\((20, 1800)\)开始画。他的单程时间是 \(1800 \div 90 = 20\)分钟。所以他在\(t=40\)分时到A点，\(t=60\)分时回到B点。

第四步：在图上找“第二次相遇”的交点。第一个交点在乙出发后不久（大约\(t=28\)分处），这是第一次相遇。沿着时间轴继续向右找，第二个交点出现在\(t=36\)分左右。

第五步：精确计算第二次相遇。从图上看，第二次相遇发生在乙第一次从A返回B的路上，甲在第一次从B返回A的路上。设从甲出发开始计时为\(t\)分。

此时，甲已经走完一个单程（30分）并正在返回。甲走的路程是：\(60 \times t\)。由于是返回阶段，他的位置 \(s_{甲} = 1800 - [60t - 1800] = 3600 - 60t\)。（这个式子表示：他从B点往回走了\((60t-1800)\)米）。

乙从\(t=20\)分开始走，此时他在返回B的路上。乙走的时间是\((t-20)\)分，他走的路程是：\(90 \times (t-20)\)。由于他先从B到A，已经走了一个单程（20分），正在返回，所以他的位置 \(s_{乙} = 90 \times (t-20) - 1800 = 90t - 3600\)。（这个式子表示：他从A点向B点走了\((90t-1800)\)米，但减去从B到A的1800米，就是从A开始的位移）。

相遇时位置相等：\(3600 - 60t = 90t - 3600\)

移项得：\(3600+3600 = 90t+60t\)

\(7200 = 150t\)

解得：\(t = 48\)（分钟）。

看，如果我们不画图分析阶段，很可能用错公式。而图上清晰显示，第二次相遇时两人各自的运动阶段。

思维迁移：场景变成了“流水行船”，多了个随水漂的救生圈。很多人一下就懵了。但柳卡图法的核心思想——把运动画成线，把相遇看成交点——依然通用！ 关键在于，我们要选择合适的参照物来画图。

这里最聪明的做法是：以“河岸”（或者A码头）为参照物，但考虑水流对速度的影响。

第一步：计算各物体对岸的速度。

甲船（顺流而下时）：\(V_{甲下} = 6+2=8\) km/h。

甲船（逆流而上时）：\(V_{甲上} = 6-2=4\) km/h。

乙船（逆流而上时，从B向A）：\(V_{乙上} = 4-2=2\) km/h。

乙船（顺流而下时，从A向B）：\(V_{乙下} = 4+2=6\) km/h。

救生圈（随水漂）：\(V_{圈} = 2\) km/h（方向始终顺流）。

第二步：建立柳卡图。横轴时间\(t\)（时），竖轴距离\(s\)（千米，以A码头为0，B码头为24）。

我们先画救生圈的线：它从\(t=0\)，\(s=0\)出发，速度\(2\) km/h，是一条斜率为2的直线（它不会折返！）。

我们再画乙船的线：乙船从\(t=0\)，\(s=24\)出发。它先以\(2\) km/h的速度逆流而上（向A），走完全程需要 \(24 \div 2 = 12\)小时，在\(t=12\)时到达A点（\(s=0\)）。然后立刻掉头，以\(6\) km/h的速度顺流而下，需要 \(24 \div 6 = 4\)小时，在\(t=16\)时回到B点（\(s=24\)）。如此反复。

第三步：在图上找第一个交点。救生圈是一条缓慢上升的直线，乙船是一条从高点（24）先下降后上升的折线。它们的第一个交点，显然发生在乙船第一次从B到A的逆流行程中。

第四步：列方程计算。设从开始到相遇经过\(t\)小时。

救生圈的位置：\(s_{圈} = 2t\)。

乙船的位置（逆流而上）：\(s_{乙} = 24 - 2t\)。

相遇时位置相等：\(2t = 24 - 2t\)

解得：\(4t = 24\)， \(t = 6\)（小时）。

此时距离A码头的距离就是 \(s = 2 \times 6 = 12\)（千米）。

看！虽然加了水流，场景复杂了，但一旦我们在柳卡图上把救生圈和乙船都画出来，问题就退化成了最简单的“两条线求第一个交点”。这就是“将抽象文字描述转化为直观几何关系”的力量！