别再和最大公因数搞混了！零基础搞懂最小公倍数：记住“两两能除继续除”：典型例题精讲
适用年级
五年级
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⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-20
💡 阿星起步：最小公倍数 的底层逻辑
想象一下，你正在和朋友们一起跑步。你的步频是每4秒踩一下地面，你朋友的步频是每6秒踩一下。你们同时起跑，什么时候你们的脚步声会第一次“砰”地一声，同时响起？
这个“第一次同时响起的时刻”，就是你们步频的最小公倍数（LCM）。它不是找你们步频里共同有的部分（那是最大公因数GCD，比如2秒，但2秒你们并不会同时踩地），而是为了找到一个共同的节奏周期，让各自不同的节奏能在某个时间点重合。
那么，怎么找呢？核心武器是短除法。这里有个关键心法：
- 找GCD时（最大公因数），我们像个“保守派”：必须所有数都能被同一个质数整除，我们才除。
- 找LCM时（最小公倍数），我们是个“激进派”：只要有两个数还能被同一个质数整除，我们就继续除！哪怕第三个数已经不能被这个数除了，我们也不管它，让它“原地休息”。
这样做的目标，是为了把所有数字“拆解”成最基础的质数零件，然后我们为每个质数零件，找到足够多的数量，以能分别“组装”回原来的每一个数。最终，把这些零件全部乘起来，就得到了那个能让所有人“同频共振”的最小公倍数。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】用短除法求 \(12\)、\(18\) 和 \(30\) 的最小公倍数。
阿星拆解：我们先请出神器——短除号「┌」。把三个数放进去：12， 18， 30。
第一步：看看有没有质数能同时整除它们三个？有，最小的质数 \(2\) 可以。\(12 \div 2 = 6\)， \(18 \div 2 = 9\)， \(30 \div 2 = 15\)。我们把商写在下面。
第二步：现在看新数：6， 9， 15。它们三个还能被同一个质数整除吗？不行。但是！只要有两个数能被整除，我们就继续！看， \(6\) 和 \(15\) 能被 \(3\) 整除（\(9\) 也能被 \(3\) 整除，这更好）。所以我们用 \(3\) 去除：\(6 \div 3 = 2\)， \(9 \div 3 = 3\)， \(15 \div 3 = 5\)。
第三步：现在看新数：2， 3， 5。这三个数，还有没有质数能同时整除其中两个？检查一下：2和3互质，2和5互质，3和5互质。好了，它们已经两两互质了，任务完成！
第四步：最小公倍数 LCM = \(2 \times 3 \times 2 \times 3 \times 5 = 180\)。这个“2”和“3”是左边除过的质数，“2， 3， 5”是最后下面互质的一排数。把它们连乘起来就是答案。
【进阶例题】学校运动会，同学A每 \(8\) 秒经过一次主席台，同学B每 \(12\) 秒经过一次，同学C每 \(18\) 秒经过一次。上午9:00他们首次同时经过，请问下一次三人同时“亮相”主席台是什么时刻？
阿星敲黑板：这道题的陷阱是问题问的是“时刻”，而我们求出的是时间间隔（秒数）。很多同学算出公倍数就结束了，忘记加上起始时刻！
第一步：求 \(8\)、 \(12\)、 \(18\) 的最小公倍数，这就是他们同时出现的周期。
第二步：用短除法。注意心法：只要有两个数能被整除就继续。
- 用 \(2\) 除：得 \(4, 6, 9\)
- 看 \(4, 6, 9\)，还能被 \(2\) 除吗？可以！因为 \(4\) 和 \(6\) 能被 \(2\) 整除（\(9\) 不能被 \(2\) 整除，但没关系，我们让它“9”原地休息）。用 \(2\) 除 \(4\) 和 \(6\)：得 \(2, 3, 9\)（那个 \(9\) 原封不动抄下来）。
- 看 \(2, 3, 9\)，能被 \(3\) 除吗？可以！因为 \(3\) 和 \(9\) 能被 \(3\) 整除。用 \(3\) 除 \(3\) 和 \(9\)：得 \(2, 1, 3\)。
- 看 \(2, 1, 3\)，已经两两互质了（因为出现了1，1和任何数都互质）。
- LCM = \(2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 = 72\)（秒）。
第三步：所以，他们每 \(72\) 秒同时亮相一次。首次是9:00，下一次就是9:00加上72秒。72秒 = 1分12秒。所以答案是 上午9:01:12。
【拔高例题】一包糖果，如果每 \(10\) 颗一袋、每 \(15\) 颗一袋或每 \(18\) 颗一袋，最后都会剩下 \(4\) 颗。这包糖果最少有多少颗？
思维迁移：虽然场景变成了“分糖果剩一些”，但核心原型没变！我们先把“剩下”这个干扰去掉。
如果糖果总数减去 \(4\) 颗，那么剩下的糖果数应该刚好可以被 \(10\)、 \(15\)、 \(18\) 整除。也就是说，（总数 - 4）是10、15、18的公倍数。
题目问“最少有多少颗”，那我们就先求它们三个数的最小公倍数。
1. 用短除法求 \(10, 15, 18\) 的LCM。
- 用 \(2\) 除（\(10\) 和 \(18\) 能被2整除）：得 \(5, 15, 9\)
- 用 \(3\) 除（\(15\) 和 \(9\) 能被3整除）：得 \(5, 5, 3\)
- 用 \(5\) 除（两个 \(5\) 能被5整除）：得 \(1, 1, 3\)
- LCM = \(2 \times 3 \times 5 \times 1 \times 1 \times 3 = 90\)
2. 所以，（总数 - 4）= \(90\)。
3. 因此，糖果总数最少是 \(90 + 4 = 94\)（颗）。
📝 阿星必背口诀：
短除求最小公倍，心法不同要牢记。
两两能除继续除，独苗留下没关系。
直到下面两两质，左边下面乘一起。
同频时刻轻松算，生活数学真有趣！
🚀 举一反三：变式挑战
用短除法求 \(16\)、 \(24\) 和 \(36\) 的最小公倍数。
已知两个数的最小公倍数是 \(60\)，其中一个数是 \(12\)，另一个数可能是多少？（提示：不止一个答案哦）
三条圆形跑道，甲跑一圈需 \(6\) 分钟，乙需 \(8\) 分钟，丙需 \(10\) 分钟。上午8点三人在起点同时出发，请问到中午12点时，三人有几次在起点同时相遇？
解析与答案
【详尽解析】
入门例题答案： \(LCM(12, 18, 30) = 180\)
进阶例题答案： 上午 \(9\) 时 \(01\) 分 \(12\) 秒
拔高例题答案： \(94\) 颗
举一反三解析：
- 变式一： 求 \(LCM(16, 24, 36)\)。用短除法，依次除以 \(2\) (16,24,36 -> 8,12,18)，再除以 \(2\) (8,12,18 -> 4,6,9)，再除以 \(2\) (4,6 -> 2,3，9不动)，再除以 \(3\) (3,9 -> 1,3，2不动)。得到 \(2, 1, 3\) 两两互质。LCM = \(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 = 144\)。
- 变式二： 设另一个数为 \(x\)。因为 \(12 = 2^2 \times 3\)， \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)。那么 \(x\) 必须包含 \(60\) 中“多出来”的质因数 \(5\)，同时可以包含 \(12\) 中已有的质因数（但数量不能超过 \(60\) 中该质因数的数量）。所以 \(x\) 可以是 \(5\)， \(2 \times 5=10\)， \(2^2 \times 5=20\)， \(3 \times 5=15\)， \(2 \times 3 \times 5=30\)， \(2^2 \times 3 \times 5=60\)。核心提示：用分解质因数法逆向思考更清晰。
- 变式三： 先求相遇周期 \(LCM(6, 8, 10) = 120\) (分钟)，即每 \(2\) 小时相遇一次。从上午 \(8\) 点到中午 \(12\) 点，共 \(4\) 小时 (\(240\) 分钟)。\(240 \div 120 = 2\)， 意思是这样的周期有 \(2\) 个。但要注意，起点出发（8:00）是第 \(1\) 次相遇，之后每 \(120\) 分钟相遇一次。所以在 \(8:00\), \(10:00
,12:00都会相遇。总共是 3 次。核心提示：求“次数”时，要小心计算起点那一次，公式为：相遇次数 = 总时长 ÷ 相遇周期 + 1`。
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