揭秘最小作用量：像大自然一样思考的极简物理攻略 | 费马原理深度解析：典型例题精讲
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几何
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最近更新
2025-12-20
最小作用量原理：举一反三深度解题攻略
💡 阿星精讲：最小作用量 的本质
想象一下，大自然是位顶级的极简主义设计师。它厌恶浪费，追求效率的极致。一个经典的例子就是：在体积一定的情况下，球体的表面积最小。为什么露珠、肥皂泡都是球形的？因为这样可以使表面张力势能 \( E_{\text{表面}} \) 降到最低，系统处于最稳定、最“省力”的状态。
这就是“最小作用量原理”的精髓！它告诉我们，无论是光线传播、物体运动，还是场的演化，自然界总是选择一条让某个“作用量” \( S \) 取极值（通常是最小值）的路径。这个“作用量”，就像是系统需要支付的“代价”，而大自然是个精明的会计师，永远选择总代价最小的方案。在物理上，作用量通常定义为拉格朗日函数 \( L \) 对时间 \( t \) 的积分：\( S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt \)。掌握它，你就握住了理解物理世界运行逻辑的一把万能钥匙。
🔥 经典例题精析
题目：费马原理（光的最短时间原理）是最小作用量原理的一个特例。如图所示，光从介质1（折射率为 \( n_1 = 1.0 \)，如空气）中的点 \( A(0, a) \) 传播到介质2（折射率为 \( n_2 = 1.5 \)，如水）中的点 \( B(d, -b) \)。光在介质中的速度为 \( v = c/n \)，其中 \( c \) 为真空光速。求证：光选择的路径满足斯涅尔定律 \( n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \)，其中 \( \theta_1, \theta_2 \) 分别为入射角和折射角。
阿星拆解：
第一步：建立“代价”函数。
光从 \( A \) 到 \( B \) 的总时间 \( T \) 就是我们的“作用量”。设光在界面上折射点的横坐标为 \( x \)，则：
\[ T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(d-x)^2 + b^2}}{v_2} = \frac{n_1}{c} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{n_2}{c} \sqrt{(d-x)^2 + b^2} \]
第二步：让“代价”最小。
大自然要最小化时间 \( T \)，根据微积分，取极值的必要条件是对 \( x \) 的导数为零：
\[ \frac{dT}{dx} = \frac{1}{c} \left[ n_1 \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + n_2 \cdot \frac{-(d-x)}{\sqrt{(d-x)^2 + b^2}} \right] = 0 \]
第三步：联系几何意义。
观察几何关系：\( \sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \)， \( \sin\theta_2 = \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2 + b^2}} \)。代入上式：
\[ \frac{1}{c} (n_1 \sin\theta_1 - n_2 \sin\theta_2) = 0 \]
第四步：得出极值定律。
化简即得：
\[ n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \]
这正是斯涅尔折射定律。可以验证此解对应时间最小值，光选择了最“快”的路径。
口诀：
“介质不同速度变，总时最短是路线；入射折射角正弦，比值等于折射率。”
🚀 举一反三：变式挑战
将经典例题中的数据具体化。已知 \( a = 3 \, \text{m} \), \( b = 4 \, \text{m} \), \( d = 10 \, \text{m} \)，介质1为空气 (\( n_1 = 1.0 \))，介质2为玻璃 (\( n_2 = 1.8 \))。求光从 \( A \) 到 \( B \) 的实际路径，即计算折射点准确的横坐标 \( x \)（精确到 \( 0.01 \, \text{m} \)）。
在经典例题背景下，假设我们通过实验测量得到入射角 \( \theta_1 = 30^\circ \)，折射角 \( \theta_2 \approx 19.47^\circ \)。请你反向推导出介质2相对于介质1的折射率 \( n_{21} = n_2 / n_1 \) 是多少？并判断光是从光疏介质进入光密介质，还是相反？
考虑光在三维空间中从点 \( A(0,0,a) \) 传播到点 \( B(d,0,-b) \)，两种介质的平面界面是 \( z=0 \)。现在，光可以在界面上的任意点 \( (x, y, 0) \) 发生折射。请基于费马原理，写出使总传播时间 \( T(x,y) \) 取最小值所需满足的方程组，并解释其物理意义（提示：这将导出两个方程）。
答案与解析
经典例题： 解析见上文阿星拆解部分。
变式一解析：
根据斯涅尔定律 \( n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \) 及几何关系 \( \sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+3^2}} \)， \( \sin\theta_2 = \frac{10-x}{\sqrt{(10-x)^2+4^2}} \)。
代入得方程：\( 1.0 \times \frac{x}{\sqrt{x^2+9}} = 1.8 \times \frac{10-x}{\sqrt{(10-x)^2+16}} \)。
通过数值迭代法（如牛顿法）或绘图求解，可得 \( x \approx 3.77 \, \text{m} \)。
变式二解析：
直接应用斯涅尔定律：\( n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2 \)。
因此 \( n_{21} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{\sin 30^\circ}{\sin 19.47^\circ} \approx \frac{0.5}{0.333} \approx 1.5 \)。
由于 \( n_{21} > 1 \)，即 \( n_2 > n_1 \)，所以光是从光疏介质进入光密介质（折射角小于入射角）。
变式三解析：
总时间函数为：
\[ T(x,y) = \frac{1}{c} \left[ n_1 \sqrt{x^2 + y^2 + a^2} + n_2 \sqrt{(d-x)^2 + y^2 + b^2} \right] \]
根据费马原理，\( T(x,y) \) 应对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数同时为零：
\[ \frac{\partial T}{\partial x} = \frac{1}{c} \left[ n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+a^2}} - n_2 \frac{d-x}{\sqrt{(d-x)^2+y^2+b^2}} \right] = 0 \]
\[ \frac{\partial T}{\partial y} = \frac{1}{c} \left[ n_1 \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+a^2}} - n_2 \frac{y}{\sqrt{(d-x)^2+y^2+b^2}} \right] = 0 \]
从 \( \frac{\partial T}{\partial y} = 0 \) 可推出 \( y = 0 \) 或括号内为零。后者意味着 \( \frac{n_1}{AP} = \frac{n_2}{BP} \)（其中 \( AP, BP \) 为距离），这通常与第一个方程共同决定唯一解。物理上，\( y=0 \) 表明入射光线、法线和折射光线在同一平面内（共面性），而第一个方程则给出了该平面内的具体折射关系（斯涅尔定律）。因此，方程组同时决定了光的传播平面和在该平面内的具体路径。
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