18世纪无人能解的散步难题？一个口诀让你秒懂！：典型例题精讲
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2025-12-20
哥尼斯堡的世纪难题：一笔画完所有桥？拓扑学给你答案！
💡 阿星起步：七桥问题的底层逻辑
想象一下，你是一位18世纪的导游，手里拿着一张哥尼斯堡的古老地图。你的任务是：设计一条旅游路线，带领游客不重复、不走回头路地逛完所有七座桥。 你试了无数次，画了无数条线，最后都失败了。这到底是地图设计得太差，还是你的智商有问题？
别急，这不是你的问题。数学家欧拉也被它难住了，但他换了个“上帝视角”：把地图抽象化。 他把四块被河流隔开的陆地（A, B, C, D）看成四个“景点”（点），把连接陆地的七座桥看成“旅游路线”（线）。问题瞬间变成了：能不能用一支笔，一笔画完这个“景点路线图”，且不重复任何一条线？ 这就是“一笔画”问题。
它的本质是什么？ 就是看每个“景点”（点）连接的“路线”（线）的数量是奇数还是偶数。
- 如果一个点连接的线是偶数条，叫“偶点”。你可以“有进有出”，很顺畅。
- 如果一个点连接的线是奇数条，叫“奇点”。它要么是你的起点（只出不进），要么是你的终点（只进不出）。
欧拉的惊天发现（口诀原型）：
1. 一个“一笔画”图形，奇点最多只能有0个或2个。
2. 如果有0个奇点（全是偶点），你可以从任意点出发，并回到这个点（闭环游）。
3. 如果有2个奇点，你必须从其中一个奇点出发，到另一个奇点结束（单程游）。
4. 如果奇点数量超过2个（比如4个），那么恭喜你——这是一笔绝对画不出来的“坑爹图”！
回头看哥尼斯堡地图，四个点A、B、C、D连接的桥数分别是3、5、3、3，全是奇点！ 奇点数量是4，大于2。所以，无解！ 导游和欧拉都没错，是这座城市“桥的布局”决定了这个任务天生就无法完成。这门研究图形在连续变形下不变性质的学问，就是拓扑学的起点。
🔥 三级跳挑战：从入门到大神
【入门例题】判断下面这个图形能否一笔画成？
●A
/ \
/ \
●B————●C
\ /
\ /
●D
其中，连线情况是：A连接2条线，B连接3条线，C连接3条线，D连接2条线。
阿星拆解：
第一步：数清每个点是“奇点”还是“偶点”。我们数一下每个点连接的线条数：
- 点A：连接了A-B和A-C，共\(2\)条线。2是偶数，所以A是偶点。
- 点B：连接了A-B, B-C, B-D，共\(3\)条线。3是奇数，所以B是奇点。
- 点C：连接了A-C, B-C, C-D，共\(3\)条线。3是奇数，所以C是奇点。
- 点D：连接了B-D, C-D，共\(2\)条线。2是偶数，所以D是偶点。
第二步：应用欧拉口诀，统计奇点总数。
奇点有：B点和C点。总共是\(2\)个奇点。
第三步：根据口诀判断。
口诀说：“奇点最多只能有0个或2个”。现在正好是2个奇点，所以可以一笔画成。并且，画的时候必须从一个奇点（B或C）出发，到另一个奇点（C或B）结束。
【进阶例题】下图是一个“田”字格图形（外面一个大口，里面一个十字）。请问它能一笔画成吗？
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阿星敲黑板：
陷阱提示： 这道题的陷阱在于“顶点”太多，数的时候很容易看花眼、数漏线！我们必须一个点一个点、有条不紊地数。
化解与计算：
我们把9个点按位置编号为左上(1)、中上(2)、右上(3)、左中(4)、中心(5)、右中(6)、左下(7)、中下(8)、右下(9)。
- 点1（角上）：只有向右和向下的连线，共\(2\)条 → 偶点。
- 点2（边上）：向左、向右、向下的连线，共\(3\)条 → 奇点。
- 点3（角上）：同点1，有\(2\)条线 → 偶点。
- 点4（边上）：向上（？错！它上面没点）、向右、向下、向左？仔细看，点4只能向右、向下、向左（连点1），共\(3\)条线 → 奇点。
- 点5（中心）：向上、向下、向左、向右，共\(4\)条线 → 偶点。
- 点6（边上）：同点4，向左、向下、向右，共\(3\)条线 → 奇点。
- 点7（角上）：同点1，向上、向右，共\(2\)条线 → 偶点。
- 点8（边上）：向上、向左、向右，共\(3\)条线 → 奇点。
- 点9（角上）：向上、向左，共\(2\)条线 → 偶点。
我们找到了所有奇点：点2、点4、点6、点8。总共是 \(4\) 个奇点。
根据口诀，奇点超过2个就无法一笔画成。所以，这个“田”字格图形不能一笔画。这就是很多“一笔画”游戏里，复杂图形通不了关的原因！
【拔高例题】小区的花园设计图如下，保安需要一次巡逻不重复地检查所有小路。请问他从哪个（或哪些）大门出发和结束，才能完成这个任务？
（图形描述：一个8字形，上面一个圈，下面一个圈，在中间共享一个连接点。可以想象为两个糖葫芦串在同一个签子中间。更精确地说，是顶点A（左上）、B（右上）、C（共享中点）、D（左下）、E（右下）。连线是A-C, B-C, C-D, C-E, 以及A-D, B-E。）
路径连接详情：
- A点：连接C点和D点。
- B点：连接C点和E点。
- C点：连接A、B、D、E四个点。
- D点：连接A点和C点。
- E点：连接B点和C点。
思维迁移：
你看，场景从“桥”变成了“巡逻小路”，但“拓扑学入门。把陆地看作点，桥看作线”的原型一点没变！我们只需把“大门/路口”看作点，把“小路”看作线。问题又回到了判断奇偶点和一笔画的可能性上。
解题逻辑演示：
第一步：再次数清每个点的连接线数。
- 点A：连接了A-C和A-D，共\(2\)条线 → 偶点。
- 点C：连接了A-C, B-C, C-D, C-E，共\(4\)条线 → 偶点。
- 点D：连接了A-D和C-D，共\(2\)条线 → 偶点。
- 点E：连接了B-E和C-E，共\(2\)条线 → 偶点。
点B：连接了B-C和B-E，共\(2\)条线 → 偶点。
第二步：统计奇点。
震惊！A、B、C、D、E全部是偶点，奇点数量为\(0\)。
第三步：应用口诀并解答实际问题。
口诀说：奇点数为0时，可以从任意点出发，并且最终能回到这个出发点（形成一个闭环）。
所以，对于保安的巡逻问题，答案是：他可以从任意一个大门（A、B、D、E任意一个）出发，只要最后回到同一个大门，就能不重复地走完所有小路。 中间的C点是个大路口，但不是大门。
📝 阿星必背口诀：
偶点可进又可出，奇点只能做一头。
两个奇点能一笔，多了就别费心机。
零个奇点更潇洒，哪都能走回老家。
🚀 举一反三：变式挑战
一个简单的“△”加一条中线（从顶点到底边中点）。四个顶点分别连接了3条、2条、2条、1条线。请问它能一笔画吗？起点和终点有要求吗？
已知一个图形可以一笔画成，且必须从点M出发，到点N结束。请问关于点M和点N，你能确定它们俩一定是图形中的什么点吗？这个图形最多可能有多少个奇点？
下图是某个公园的湖泊与桥梁示意图。陆地被水分割成3块（A，B，C），共有5座桥（a,b,c,d,e）。连接方式是：A通过桥a、b连接B；B通过桥c、d连接C；A通过桥e连接C。为了环保，政府想再加一座桥，使得游客有可能不重复地走完所有（包括新建的）6座桥。请问这座桥应该加在哪两块陆地之间？
解析与答案
【详尽解析】
三级跳挑战答案：
1. 入门例题：可以一笔画。必须从B或C出发，结束于C或B。
2. 进阶例题：不能一笔画。因为奇点有4个（点2、4、6、8）。
3. 拔高例题：可以从A、B、D、E中任意一个大门出发并回到该大门完成巡逻。
举一反三答案与提示：
- 变式一：不能一笔画。连接线数分别是3（奇），2（偶），2（偶），1（奇），共\(2\)个奇点？等等！1也是奇数！所以奇点是那个连3条线的顶点和那个连1条线的点，共2个。哦不，我们数一下：假设顶点连3条，底边左点连2条，底边右点连2条，底边中点连1条（只连了中线）。这样奇点就是顶点（3条）和底边中点（1条），共2个。根据口诀，有2个奇点可以一笔画，但必须从其中一个奇点出发到另一个奇点结束。核心提示：仔细数，1也是奇数，别漏了！
- 变式二：M和N一定是图形中的奇点。因为能一笔画且规定了起点终点不同，符合“2个奇点”的情况，起点和终点正是这两个奇点。该图形最多有且只有2个奇点。
- 变式三：首先分析加桥前的情况。陆地A：有桥a、b、e连接，共3座（奇点）。陆地B：有桥a、b、c、d连接，共4座（偶点）。陆地C：有桥c、d、e连接，共3座（奇点）。目前奇点是A和C，共2个。根据口诀，现在其实已经可以一笔画了（从A出发到C或反之）。但题目要求加一座桥后，走完所有6座桥。加桥会改变点的奇偶性。目标是让加桥后，整个图的奇点数为0或2。目前A(奇)、B(偶)、C(奇)。如果在两个奇点A和C之间加桥，A变成4（偶），C变成4（偶），B不变。结果所有点都是偶点（奇点数为0），符合要求。如果加在其他地方（如A-B之间），A变4（偶），B变5（奇），C仍是3（奇），结果奇点是B和C，共2个，也符合要求。但题目问“使得游客有可能…”，从操作性讲，让所有点变偶点（闭环游）更自由。所以标准答案是加在A和C之间。但加在A-B或B-C之间理论上也可行，只是起点终点被限定为两个奇点。
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