图像分类：K-Means算法深度解题攻略

💡 阿星精讲：图像分类 的本质

想象一下，你要整理手机里上千张照片。你怎么做？你会把家人的归在一起，风景的归在一起，宠物的也归在一起。这就是分类。但机器没有眼睛，它怎么“看”图片呢？

奥秘在于，机器会把每张图片转化成一串数字，称为特征向量（Feature Vector），比如 \( \mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_n] \)，这串数字就代表了图片的“身份证”——颜色分布、纹理、形状等信息。

那么，K-Means算法是如何工作的呢？它就像一个聪明的“图片管家”。它的任务是：给定一堆图片（特征向量）和一个预设的类别数 \( K \)，自动把相似的图片聚成一堆。它的核心方法是计算距离。在数学世界里，我们常用欧几里得距离来衡量两个特征向量的相似度：对于两个向量 \( \mathbf{p} = [p_1, p_2] \) 和 \( \mathbf{q} = [q_1, q_2] \)，距离 \( d = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2} \)。距离越近，图片越相似！算法通过不断计算、比较、调整，最终让同一堆内的图片距离尽可能小，不同堆的图片距离尽可能大。

🔥 经典例题精析

🚀 举一反三：变式挑战

答案与解析

经典例题答案：第一轮迭代结果：簇1：\( A, B, C \)；簇2：\( D, E, F \)。（解析见阿星拆解步骤）

举一反三解析：

变式一：
计算各点到 \( C_1(2,10) \) 和 \( C_2(4,4) \) 的欧氏距离：
- \( Q(4,8) \): 到C1: \( \sqrt{(4-2)^2+(8-10)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \approx 2.83 \)； 到C2: \( \sqrt{(4-4)^2+(8-4)^2} = \sqrt{0+16} = 4 \)。归簇1。
- \( R(6,8) \): 到C1: \( \sqrt{(6-2)^2+(8-10)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} \approx 4.47 \)； 到C2: \( \sqrt{(6-4)^2+(8-4)^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4.47 \)。距离相等，归簇1。
- \( S(8,10) \): 到C1: \( \sqrt{(8-2)^2+(10-10)^2} = 6 \)； 到C2: \( \sqrt{(8-4)^2+(10-4)^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} \approx 7.21 \)。归簇1。
- \( U(6,4) \): 到C1: \( \sqrt{(6-2)^2+(4-10)^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} \approx 7.21 \)； 到C2: \( \sqrt{(6-4)^2+(4-4)^2} = \sqrt{4+0} = 2 \)。归簇2。
因此，簇1：\( P, Q, R, S \)；簇2：\( T, U \)。

变式二：
计算距离：
- \( V(4,3) \) 到 \( M_1(2,3) \) 距离为 \( 2 \)，到 \( M_2(8,3) \) 距离为 \( 4 \)。因此 \( V \) 离 \( M_1 \) 更近，归入 \( M_1 \) 所在簇。
- \( W(5,6) \) 到 \( M_1(2,3) \) 距离为 \( \sqrt{(5-2)^2+(6-3)^2} = \sqrt{18} \approx 4.24 \)，到 \( M_2(8,3) \) 距离为 \( \sqrt{(5-8)^2+(6-3)^2} = \sqrt{18} \approx 4.24 \)。距离相等，按惯例可归入任一簇，算法中通常有确定规则（如归入编号小的簇）。
核心原因：K-Means划分的最终依据就是比较待分类点与各簇中心点的距离，距离最小者胜出。

变式三：
使用曼哈顿距离计算：
点 \( C(3,3) \) 到 \( C_1(1,2) \) 的距离：\( |3-1| + |3-2| = 2 + 1 = 3 \)。
点 \( C(3,3) \) 到 \( C_2(5,4) \) 的距离：\( |3-5| + |3-4| = 2 + 1 = 3 \)。
两者距离相等。在经典例题中使用欧氏距离计算结果也是相等（均为 \( \sqrt{5} \)）。所以在这个特例下，划分结果一致（都可根据规则归入簇1）。但需要注意的是，不同的距离度量公式可能会导致不同的划分结果，这是选择算法参数时需要考量的。