五年级数学期末急救：解决问题（进一法/去尾法）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
适用年级
五年级
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-22
💡 阿星精讲：解决问题（进一法/去尾法） 的核心避坑原理
- 概念重塑：同学们，想象一下你面前有一个“顽固的瓶子”和一件“挑剔的衣服”。阿星提醒你：“瓶子”代表“进一法”——就像要把 \(2.5 \, \text{kg}\) 的油装进每个只能装 \(0.4 \, \text{kg}\) 的瓶子里，算出来 \(2.5 \div 0.4 = 6.25\) 个。哪怕剩下的油只有一点点（\(0.25\) 个瓶子的量），你也必须再拿一个新的、完整的瓶子来装它！所以答案是 \(7\) 个瓶。因为瓶子的个数必须是完整的整数，不能有半个瓶子。“衣服”代表“去尾法”——做一件衣服需要 \(1.5 \, \text{m}\) 布，你有 \(10 \, \text{m}\) 布， \(10 \div 1.5 \approx 6.666...\) 件。剩下的布（约 \(0.666... \, \text{m}\)）不够再做一件完整的新衣服，只能扔掉。所以只能做 \(6\) 件。核心区别在于：剩下的部分还能否作为一个有效的、完整的“单位”来使用？能 → 进一；不能 → 去尾。
- 避坑口诀：阿星给你编个顺口溜，做题前先默念一遍！“瓶要满，衣要整；有余就进一，不够就去尾。四舍五入是陷阱，生活实际才是理！”
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：看见题目里的“大约”、“近似”等词，不假思索就用“四舍五入”。这是最大的敌人！进一/去尾法与四舍五入求近似值完全是两码事。→ ✅ 正解：忽略“大约”，紧紧抓住问题的核心：问的是什么“单位”？是“瓶”、“车”、“箱”这样的容器吗？是“件”、“套”这样的完整物品吗？然后判断剩下的部分对这个“单位”来说是否有效。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：计算结果是一个很“整”的小数，比如 \(5.0\)， \(8.00\)， 就以为没有余数，直接取整数部分。→ ✅ 正解：计算 \(2.0 \div 0.4 = 5.0\)， 要看到这里的 \(5.0\) 代表正好装满5个瓶子，不需要第6个。但如果 \(2.01 \div 0.4 = 5.025\)， 哪怕只多出 \(0.025 \, \text{kg}\)， 也得用第6个瓶（进一法）。一定要看实际余数是否大于0。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在连续问题或多步计算中，第一步用了“进一”或“去尾”得到一个整数后，在第二步计算中，错误地继续使用第一步取整前的那个小数去计算。→ ✅ 正解：记住，一旦根据实际情况对结果进行了“进一”或“去尾”处理，这个整数就成为了新的、确定的已知条件，后续计算必须基于这个整数，而不是之前的小数。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】礼品盒的丝带
一个礼品盒需要用 \(0.85 \, \text{m}\) 长的丝带进行十字捆扎。李阿姨有一卷 \(20 \, \text{m}\) 长的丝带，她最多可以捆扎多少个这样的礼品盒？
💀 错误率：85%
❌ 常见错误： \(20 \div 0.85 \approx 23.529...\)， 四舍五入后认为可以捆扎 \(24\) 个。
✅ 阿星解析：这可不是“瓶子问题”！丝带捆扎礼品盒，每个盒子需要的 \(0.85 \, \text{m}\) 是一份完整、固定的“布料”。剩下的丝带如果不够 \(0.85 \, \text{m}\)，就无法再捆扎一个完整的盒子，只能剪掉不用。所以这是“衣服问题”，要用去尾法。
计算： \(20 \div 0.85 = 23.529...\)
剩下的丝带长度约为 \(20 - 0.85 \times 23 = 20 - 19.55 = 0.45 \, \text{(m)}\)， 这 \(0.45 \, \text{m}\) 远不够捆扎一个盒子（需要 \(0.85 \, \text{m}\)）。
所以，最多能捆扎 \(23\) 个礼品盒。
【易错题2：思维陷阱】租船与乘车
五年级（1）班有45名同学和2位老师去春游。每辆小巴车最多可以乘坐15人（含司机）。至少需要租多少辆这样的小巴车？
💀 错误率：90%
❌ 常见错误： 总人数： \(45 + 2 = 47\)（人）。 \(47 \div 15 \approx 3.133...\)， 四舍五入得 \(3\) 辆。或者直接用去尾法得 \(3\) 辆。
✅ 阿星解析：这是经典的“瓶子问题”！车子就像瓶子，必须能把所有人都“装下”。即使剩下的人不到15个，也需要单独一辆车来“装”他们。所以必须用进一法。
计算：总人数 = \(45 + 2 = 47\)（人）
\(47 \div 15 = 3.133...\)
这意味着：3辆满员的车坐了 \(15 \times 3 = 45\) 人，还剩下 \(47 - 45 = 2\) 人。这 \(2\) 人同样需要占用一辆完整的车。
所以，至少需要租 \(3 + 1 = 4\) 辆车。
【易错题3：大题陷阱】做校服与买布料
星光小学要为合唱团订做演出服。每套演出服需要 \(2.3 \, \text{m}\) 布料。现有 \(80 \, \text{m}\) 布料。
- 这些布料最多可以做多少套演出服？
- 如果合唱团实际需要35套，那么至少还需要再购买多少米布料？
💀 错误率：95%
❌ 常见错误：
- 第1问： \(80 \div 2.3 \approx 34.78\)， 四舍五入得 \(35\) 套。
- 第2问：直接用 \(35 \times 2.3 = 80.5 \, \text{(m)}\)， \(80.5 - 80 = 0.5 \, \text{(m)}\)。 或者用第1问错误的“35套”来计算，得出不需要再购买。
✅ 阿星解析：
- 第1问是“衣服问题”，用去尾法。 \(80 \div 2.3 \approx 34.782...\)。 剩下的布料不够做一套完整的衣服，所以最多做34套。
- 第2问是“瓶子问题”的逆运算。已知需要“装满”35个“瓶子”（衣服），每个需要 \(2.3 \, \text{m}\) 布料。先算总需求： \(35 \times 2.3 = 80.5 \, \text{(m)}\)。 现有 \(80 \, \text{m}\)， 比较： \(80.5 - 80 = 0.5 \, \text{(m)}\)。 注意，这 \(0.5 \, \text{m}\) 的缺口意味着最后一套衣服还差 \(0.5 \, \text{m}\) 布料，你不可能买“0.5米”的散布来拼凑（题目隐含布料按整米购买或裁剪损耗等现实）。为了做齐35套，你必须再购买足够做一套衣服的布料，即至少 \(2.3 \, \text{m}\)。这里容易错成 \(0.5 \, \text{m}\)， 忽略了“完整性”要求。另一种思路：做34套用了 \(2.3 \times 34 = 78.2 \, \text{m}\)， 剩下 \(80-78.2=1.8 \, \text{m}\)。 要做第35套需要 \(2.3 \, \text{m}\)， 差 \(2.3-1.8=0.5 \, \text{m}\)。 这 \(0.5 \, \text{m}\) 无法单独获得，所以需要新买一整份 \(2.3 \, \text{m}\) 的布料（其中 \(0.5 \, \text{m}\) 用于补足第35套，剩下 \(1.8 \, \text{m}\) 成为新的余料）。因此，至少还需购买 \(2.3 \, \text{m}\)。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- \(10 \, \text{kg}\) 大米分装在每袋 \(2.4 \, \text{kg}\) 的袋子里，需要 \(5\) 个袋子。 （计算： \(10 \div 2.4 \approx 4.166\)）
- 用一根 \(10 \, \text{m}\) 的绳子做跳绳，每根需要 \(1.2 \, \text{m}\)， 最多能做 \(8\) 根。 （计算： \(10 \div 1.2 \approx 8.333\)）
- 工厂生产了 \(98 \) 个月饼，每 \(8 \) 个装一盒，至少需要 \(13\) 个盒子来装。
- 一堆货物重 \(15\) 吨，用载重 \(4\) 吨的卡车运， \(4\) 趟就能运完。 （计算： \(15 \div 4 = 3.75\)）
- 一本练习册有 \(100\) 页，如果每天坚持做 \(8\) 页， \(12\) 天可以做完。 （计算： \(100 \div 8 = 12.5\)）
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 每个玻璃瓶可以装 \(0.65 \, \text{kg}\) 蜂蜜。 \(15 \, \text{kg}\) 蜂蜜至少需要准备（ ）个这样的玻璃瓶。
- 制作一个蛋糕需要 \(0.32 \, \text{kg}\) 面粉。一袋 \(5 \, \text{kg}\) 的面粉最多可以制作（ ）个这样的蛋糕。
- 五（2）班有班费 \(150\) 元。一本《数学故事》 \(12.5\) 元，最多可以买（ ）本。
- 一辆卡车的载质量是 \(4.5\) 吨。现有 \(32\) 吨沙子，至少需要（ ）辆这样的卡车才能一次运完。
- 服装厂用 \(50 \, \text{m}\) 的布料做衣服，每件用布 \(2.1 \, \text{m}\)， 最多可以做（ ）件；如果要做 \(25\) 件，那么还差至少（ ）米布料。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- 错。 \(10 \div 2.4 \approx 4.166\)， 需要袋子数应为 \(5\) 个（进一法）。
- 对。 \(10 \div 1.2 \approx 8.333\)， 剩下的绳子不够做一根，所以最多做 \(8\) 根（去尾法）。
- 错。 \(98 \div 8 = 12.25\)， 需要盒子数应为 \(13\) 个（进一法）。
- 错。 \(15 \div 4 = 3.75\)， 需要卡车运的次数为 \(4\) 趟（进一法）。
- 错。 \(100 \div 8 = 12.5\)， 需要的天数为 \(13\) 天（进一法）。因为最后一天虽然只做半天的量，但也需要占用一整天的时间。
第二关：防坑演练
- 24。 \(15 \div 0.65 \approx 23.076...\)， 进一得 \(24\) 个瓶。
- 15。 \(5 \div 0.32 \approx 15.625\)， 去尾得 \(15\) 个蛋糕。
- 12。 \(150 \div 12.5 = 12\)， 正好整除，无需去尾。
- 8。 \(32 \div 4.5 \approx 7.111...\)， 进一得 \(8\) 辆卡车。
- 23， 2.5。
- 第一部分： \(50 \div 2.1 \approx 23.809...\)， 去尾得 \(23\) 件。
- 第二部分：做 \(25\) 件需要 \(25 \times 2.1 = 52.5 \, \text{(m)}\)。 现有 \(50 \, \text{m}\)， 差 \(52.5 - 50 = 2.5 \, \text{(m)}\)。 注意陷阱：布料通常按整米或固定长度购买，但此处问“还差至少多少米”，是一个精确的数值差，所以答案是 \(2.5 \, \text{m}\)。 这与【易错题3】中需要“再购买”一整段布料的场景略有不同，此题只问“差多少”，不涉及购买的最小单位。
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