初二数学期末急救：解分式方程（常数项）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲

🚀 易错专项训练（你能全对吗？）

第一关：火眼金睛（判断对错 5题）

1. 解方程 \( \frac{x}{3} + 2 = \frac{5}{3} \) 时，去分母得 \( x + 2 = 5 \。 (   )
2. 方程 \( \frac{1}{x} - x = 0 \) 的两边同时乘以 \( x \)，可以化为 \( 1 - x^2 = 0 \。 (   )
3. 解分式方程 \( \frac{2}{x-1} = 1 \) 时，可以两边直接取倒数，得到 \( \frac{x-1}{2} = 1 \。 (   )
4. 方程 \( \frac{x-1}{x+2} = 0 \) 的解就是 \( x = 1 \。 (   )
5. 若方程 \( \frac{3}{x-2} = \frac{m}{x-2} \) 有增根，则增根一定是 \( x=2 \。 (   )

第二关：防坑演练（填空 5题）

1. 解方程 \( \frac{3}{x} + 2 = \frac{5}{x} \)，去分母时，方程两边应同乘______，得到的整式方程是____________。
2. 解方程 \( 1 - \frac{2}{x-3} = \frac{6}{x^2-9} \)，最简公分母是______，去分母后的整式方程是________________________（不需化简）。
3. 当 \( m = \) ______ 时，解方程 \( \frac{2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{m}{x^2-1} \) 会产生增根。
4. 关于 \( x \) 的方程 \( \frac{a}{x-1} = 1 \) 的解是负数，则 \( a \) 的取值范围是______。
5. 若 \( x=3 \) 是方程 \( \frac{x}{x-2} = \frac{m}{x-2} + 2 \) 的解，则 \( m = \) ______。

答案与详细解析

第一关：火眼金睛

1. ❌ 错。 常数项 \( 2 \) 没有乘以公分母 \( 3 \)。正确应为 \( x + 6 = 5 \)。
2. ✅ 对。 左边第二项 \( -x \) 也乘了 \( x \)，得到 \( -x^2 \)。
3. ❌ 错。 等式两边不能单独对其中一项取倒数。正确去分母得 \( 2 = x-1 \)。
4. ✅ 对。 分式值为零，需分子为零且分母不为零。\( x=1 \) 时，分母 \( 1+2=3 eq 0 \)，所以是解。
5. ✅ 对。 增根是使公分母 \( x-2 = 0 \) 的值，即 \( x=2 \)。

第二关：防坑演练

1. \( x \); \( 3 + 2x = 5 \) （解析：公分母是 \( x \)。注意常数项 \( 2 \) 要乘 \( x \)。）
2. \( (x+3)(x-3) \) 或 \( x^2-9 \); \( (x+3)(x-3) - 2(x+3) = 6 \) （解析：\( x^2-9 = (x+3)(x-3) \)，左边第一项 \( 1 \) 和常数项 \( -2 \) 极易漏乘。）
3. \( -4 \) 或 \( 10 \) （解析：公分母 \( (x+1)(x-1) \)，潜在增根 \( x=1 \) 或 \( x=-1 \)。去分母得 \( 2(x-1)+5(x+1)=m \)，即 \( 7x+3=m \)。将 \( x=1 \) 代入得 \( m=10 \)；将 \( x=-1 \) 代入得 \( m=-4 \)。）
4. \( a < 1 \) 且 \( a eq 0 \) （解析：去分母得 \( a = x-1 \)，所以 \( x = a+1 \)。解为负数即 \( a+1 < 0 \)，得 \( a < -1 \)。同时 \( x \) 不能是增根 \( 1 \)，即 \( a+1 eq 1 \) 得 \( a eq 0 \)。故 \( a < -1 \)。）
5. \( 3 \) （解析：将 \( x=3 \) 代入原方程，\( \frac{3}{1} = \frac{m}{1} + 2 \)，即 \( 3 = m + 2 \)，解得 \( m=1 \)。）