初二数学期末急救：角平分线的性质（距离）易错题合集与避坑指南 | 星火网：典型例题精讲
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-22
💡 阿星精讲：角平分线的性质（距离） 的核心避坑原理
- 概念重塑：阿星说：“想象角平分线是一条‘公平线’，它上面的点，到角的两边，机会均等！” 但关键是，这里的‘距离’不是随便量的长度，而是最短的、垂直的路线。就像你站在一个十字路口（点P），到两条马路（OA和OB）的距离，必须是垂直走过去的最近距离。只要你在公平线（角平分线）上，那么你垂直走向马路A的距离，就一定等于你垂直走向马路B的距离。所以，别再被那些斜着的线段迷惑了，它们不是“距离”！
- 避坑口诀：角平分线，公平裁判；点到两边，垂直相等；看见斜线，立刻警醒；垂线为尺，答案自明。
⚠️ 90%的学生都会踩的3大“陷阱”
- ❌ 陷阱一（概念混淆型）：把“点到角平分线的距离”或“点到角顶点的距离”与“点到角两边的距离”混为一谈。看到线段就连，不判断是否是垂直距离。 → ✅ 正解：牢记“点到直线的距离”唯一标准：过点作直线的垂线段，垂线段的长度才是距离。角平分线性质只与“点到角两边的垂直距离”有关。
- ❌ 陷阱二（视觉误导型）：当图形中的角不对称，或者给的垂线段没有明确标注直角符号时，不敢使用角平分线性质。或者，当点在角平分线的反向延长线上时，怀疑性质是否成立。 → ✅ 正解：角平分线是一条射线，性质适用于其上的所有点（包括反向延长线上的点）。只要确认了“点在角平分线上”和“PM⊥OA，PN⊥OB”，无论图形多别扭，都有PM = PN。
- ❌ 陷阱三（计算粗心型）：在综合题中，利用角平分线性质得到一组线段相等后，代入后续的三角形全等或周长/面积计算时，字母对应错误，导致连锁错误。 → ✅ 正解：得到PM=PN后，立刻在图中用相同符号（如一条小斜杠）标记这两条相等的线段，避免后续混淆。
🔥 经典易错题精讲（附 SVG 图解）
【易错题1：概念陷阱】 如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D。连接PO并延长交OB于点E。已知PD=4，则PE的长度是多少？
💀 错误率：85%
❌ 常见错误：直接答PE=4。理由是“P在角平分线上，所以到两边距离相等”。错把PE当成了“点P到OB的距离”。
✅ 阿星解析：
- 审题！问题问的是PE的长度，而PE是连接P和OB上一点E的线段。
- 角平分线性质说的是：P到OA和OB的垂直距离相等。已知PD⊥OA，PD=4。所以，要利用性质，必须过P点向OB作垂线，设垂足为F，则有PF=PD=4。
- 但是，PE并不是那条垂线段！在图中，PE是斜着连接到OB的，除非E恰好是垂足（显然不是），否则PE > PF。
- 题目只给了PD=4，没有给出任何角度或其他条件来确定E点的具体位置。因此，PE的长度无法确定，答案不是4。
阿星说：“PE是个斜杠青年，不是垂直模范。距离只认垂线段，性质别乱套！”
【易错题2：思维陷阱】 在△ABC中，∠A=60°，∠B和∠C的角平分线相交于点I。若点I到边AB的距离是3，则点I到边AC的距离是____，点I到边BC的距离是____。
💀 错误率：90%
❌ 常见错误：第一空填3（正确），第二空也填3。错误认为点I是三条角平分线交点（内心），所以到三边距离都相等。
✅ 阿星解析：
- 点I是△ABC的内心，它确实是三条角平分线的交点。
- 根据角平分线性质：因为AI平分∠A，且I在AI上，所以I到AB和AC的垂直距离相等。已知到AB距离为3，所以到AC距离也是3。
- 陷阱来了！ I到BC的距离，需要用到的是BI平分∠B或CI平分∠C这个条件。以BI为例：I在∠B的平分线上，所以I到BA和BC的距离相等。因此，I到BC的距离 = I到BA的距离 = 3。
- 所以，两个空都填3。大部分学生错在只知道用∠A的平分线，没想到或不敢用∠B或∠C的平分线性质，从而卡在第二空。阿星说：“内心是个大宝藏，身上挂着三把公平尺（三条角平分线）。用哪把尺子量哪两边，一定要门儿清！”
【易错题3：大题陷阱】 如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响。
（1）如果拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，速度为18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒？
（2）如果拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶，为保证学校不受影响，请在图中画出学校受影响区域的临界点，并计算点P到这两个临界点的距离之和。
（本题我们聚焦于第(2)问的角平分线应用）
💀 错误率：95%
❌ 常见错误： 直接认为临界点就是使A到MN的垂线段长度等于100米的点，忽略了“周围100米”是一个以A为圆心，100米为半径的圆形区域。错误地将问题简化为一个点到一条直线的距离问题。
✅ 阿星解析：
- 理解题意：“周围100米”指的是圆。学校A受影响的条件是：拖拉机到点A的距离 ≤ 100米。
- 拖拉机在直线MN上行驶。所以，问题转化为：直线MN与以A为圆心、100为半径的圆何时有交点？当直线与圆相交时，交点就是临界点。
- 角平分线如何出场？ 我们需要找到MN上满足AB=100的点B。但这样的点有两个（圆与直线相交通常有两个交点）。关键洞察：点A到这两个临界点的距离是相等的（都是半径100）。连接AP，根据线段垂直平分线？不对。看△APB，AP是公共边，AB=100，但PB未知。实际上，点A到两个临界点的距离相等，意味着这两个临界点关于点A到直线MN的垂线段对称吗？ 不一定。
- 正解路径（核心）： 过点A作MN的垂线，设垂足为H。在Rt△AHP中，AP=160，∠APH=30°，可求出AH=\( \frac{1}{2}AP = 80 \)米。因为AH=80 < 100，所以直线MN确实与圆相交于两点，设为B和C。
- 在Rt△AHB中，AH=80，AB=100，由勾股定理，HB=\( \sqrt{100^2 - 80^2} = 60 \)米。
- 所以，两个临界点B、C到垂足H的距离都是60米。因此，PB = PH - 60， PC = PH + 60（或反之，取决于P、H的位置）。
- 需要先求PH。在Rt△AHP中，PH=\( AP \cdot \cos 30° = 160 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 80\sqrt{3} \)米。
- 则PB+PC = (PH - 60) + (PH + 60) = \( 2PH = 160\sqrt{3} \)米。
阿星总结：“实际问题别慌张，‘距离’可能藏圆方。角平分线虽未显，垂线勾股来帮忙。读题三遍破表象，模型转化是关键！” 本题易错在于无法将文字“周围100米”正确转化为几何图形（圆），并且找不到求解临界距离的几何方法（作垂线，用勾股定理）。
🚀 易错专项训练（你能全对吗？）
第一关：火眼金睛（判断对错 5题）
- 点P在∠AOB内部，只要满足PO=PO，点P就在∠AOB的角平分线上。 ( )
- 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，D、E分别在OA、OB上，若PD=PE，则一定有PD⊥OA，PE⊥OB。( )
（提示：想象PD和PE是两条斜的但长度相等的线段） - 三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离都相等。 ( )
- 若点P到∠AOB两边的距离相等，则OP一定是∠AOB的角平分线。 ( )
- 在△ABC中，AD是角平分线，则BD:DC = AB:AC。这里BD、DC、AB、AC都是指线段长度。 ( )
第二关：防坑演练（填空 5题）
- 如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D。若PD=5，则点P到射线OB的距离为____，点P到点O的距离____（填“等于”、“大于”或“小于”）5。
- 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点D。若AC=6，AB=10，且点D到AB的距离为3，则△ABD的面积是____。
- 点P是∠MON外一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。若PA=PB，则射线OP____（填“是”或“不是”）∠MON的角平分线。
- 如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AC平分∠BAD。若BC=5，则CD=____。许多学生会直接填5，理由是“角平分线上的点…”请先判断这样做对不对？
- △ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC和∠ACB的平分线，AD与CE相交于点F。若点F到AB的距离是2，则点F到BC的距离是____。
答案与详细解析
第一关：火眼金睛
- ❌。角平分线的判定和性质都与“点到边的距离”有关，与到顶点的距离无关。
- ❌。角平分线性质的前提是“点到边的垂直距离相等”。只给PD=PE，未说明垂直，结论不成立。
- ✅。该交点为内心，根据角平分线性质，使用不同的角平分线可证得到三边距离相等。
- ✅。这是角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。
- ✅。这是角平分线定理，在初二阶段可通过面积法或构造平行线证明。
第二关：防坑演练
- 第一空：5。直接应用性质。 第二空：大于。点P到点O的线段PO是斜边，在直角三角形中，斜边大于直角边PD。
- 15。过D作DE⊥AB于E，则DE=3。因为AD平分∠A，且DC⊥AC，DE⊥AB，所以DC=DE=3。由勾股定理，BC=\( \sqrt{10^2-6^2}=8 \)。BD=BC-DC=5。\( S_{△ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times DE = \frac{1}{2} \times 10 \times 3 = 15 \)。（易错：直接用AC当高，或忽略求DC）
- 不一定/无法确定。角平分线的判定定理要求点在角的内部。如果点P在∠MON外部（例如在反向延长线区域），即使PA=PB，OP也不是角平分线。所以不能直接填“是”。
- 对，答案是5。判断：这样做是对的，但理由要说完整。过C作CE⊥AD于E（或连接CA并利用全等）。更直接的思路：因为AC平分∠BAD，且∠B=∠D=90°，所以点C到角的两边AB和AD的距离相等。但BC是C到AB的垂直距离吗？是的，因为∠B=90°，CB⊥AB。同理，需要作CE⊥AD。由角平分线性质，CB=CE。要证CD=CE，需证CE是C到AD的垂直距离，且∠D=90°意味着CD也是C到AD的垂直距离吗？不，CD⊥AD吗？已知∠D=90°，但那是∠ADC=90°，即CD⊥DA。所以CD就是点C到AD的垂直距离！因此，直接由角平分线性质得BC=CD=5。本题陷阱在于图形中角平分线AC连接的不是“角平分线上的点C”到顶点的线，但性质依然适用。
- 2。点F是两条角平分线的交点，即内心。过F作FG⊥AB于G，FH⊥BC于H，FI⊥AC于I。由AF平分∠BAC，且F在AF上，得FG=FI。由CF平分∠ACB，且F在CF上，得FI=FH。所以FG=FH。已知FG=2，故FH=2。到BC距离为2。（易错：只想到用一条角平分线，没想到需要传递一次）
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